Question

13．如圖甲所示，一剛性矩形金屬線框從高處自由下落，剛好勻速進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場區(qū)域，然后穿出磁場區(qū)域，已知線圈質(zhì)量為m，電阻為R，長為l₁，寬為l₂，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場區(qū)域高度為d，假設(shè)線框運(yùn)動(dòng)過程中不翻轉(zhuǎn)，整個(gè)過程不計(jì)空氣阻力．

（1）若l₂＜d，試計(jì)算線框剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小，同時(shí)分析線框完全在磁場中做何種運(yùn)動(dòng)？
（2）若l₂=d，試分析線框剛進(jìn)入磁場到剛好完全離開磁場的過程中能量是如何轉(zhuǎn)化的？通過分析、推導(dǎo)說明此過程中能量轉(zhuǎn)化是守恒的．
（3）若將線框改為長度為a的金屬棒，如圖乙所示，金屬棒由靜止釋放進(jìn)入磁場，假設(shè)金屬棒能保持水平狀態(tài)穿過磁場，分析說明金屬棒在磁場中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢的原因并推導(dǎo)感應(yīng)電動(dòng)勢E與瞬時(shí)速度v的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件和閉合電路的歐姆定律聯(lián)立求解速度大�。痪�框完全進(jìn)入磁場后根據(jù)受力情況確定運(yùn)動(dòng)情況；
（2）根據(jù)機(jī)械能和內(nèi)能的變化分析能量的轉(zhuǎn)化；根據(jù)功能關(guān)系知重力勢能完全轉(zhuǎn)化為焦耳熱；
（3）根據(jù)洛倫茲力使得電子移動(dòng)分析電動(dòng)勢產(chǎn)生的原因；根據(jù)洛倫茲力和電場力相等推導(dǎo)電動(dòng)勢的表達(dá)式．

解答 解：（1）線框勻速進(jìn)入磁場，重力等于安培力，mg=BIl₁，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：$I=\frac{E}{R}=\frac{B{l}_{1}v}{R}$，
解得：v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}_{1}^{2}}$；
線框完全進(jìn)入磁場后磁通量不變，不再產(chǎn)生感應(yīng)電流和安培力，線框只受重力作用，故做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；
（2）動(dòng)能不變，重力勢能轉(zhuǎn)化為電能，電能轉(zhuǎn)化為焦耳熱；
線框穿過磁場過程：由于保持勻速，動(dòng)能不變，重力勢能減少了2mgl₂，
線框因發(fā)熱初速度焦耳熱為Q=I²Rt，
其中t=$\frac{2{l}_{2}}{v}$，mg=BIl₁，
聯(lián)立解得：Q=2mgl₂，
這個(gè)過程重力勢能完全轉(zhuǎn)化為焦耳熱；
（3）金屬棒中自由電子因在磁場中運(yùn)動(dòng)受洛倫茲力的作用向一端移動(dòng)，使得金屬棒兩端出現(xiàn)等量異種電荷，這是產(chǎn)生電動(dòng)勢的本質(zhì)原因；
電場力等于洛倫茲力可得：qE_{場強(qiáng)}=qvB，
又因?yàn)镋_{場強(qiáng)}=$\frac{U}{a}$，
解得：U=Bav，
斷路時(shí)的電壓等于電動(dòng)勢，所以有E′=Bav．
答：（1）若l₂＜d，線框剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}_{1}^{2}}$，線框完全在磁場中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；
（2）若l₂=d，試分析線框剛進(jìn)入磁場到剛好完全離開磁場的過程中重力勢能轉(zhuǎn)化為電能，電能轉(zhuǎn)化為焦耳熱；
（3）金屬棒在磁場中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢的原因是內(nèi)部自由電子在洛倫茲力作用下從金屬棒的一端移動(dòng)的另一端；感應(yīng)電動(dòng)勢E與瞬時(shí)速度v的關(guān)系式為E′=Bav．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．