Question

8．如圖甲，勻強磁場磁感應強度為B，磁場寬度為3L，一正方形金屬框abcd的邊長為L，每邊電阻為R，金屬框以速度v勻速穿過磁場區(qū)，其平面始終保持與磁感線方向垂直．求：

（1）求金屬框進入磁場階段，通過回路的電荷量；
（2）當金屬框完全在磁場中運動時，求金屬框a、b兩端電壓U_ab，某同學的解法如下：
設通過金屬框中的電流為I，則U_ab=I•3R，代入數(shù)據(jù)，即可求得U_ab．
你認為該同學的解答是否合理？若合理，請解出最后結果；若不合理，請說明理由，并用你自己的方法算出正確結果．
（3）若當金屬框cd邊到達磁場左邊緣時，磁感應強度大小按如圖乙所示的規(guī)律變化，求金屬框穿過磁場區(qū)的過程中cd邊克服安培力做的功．

Answer 1

分析 （1）金屬框進入磁場階段，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$求感應電流，由q=It求電荷量．
（2）當金屬框完全在磁場中運動時穿過線框的磁通量不變，由此分析即可．
（3）cd邊克服安培力做的功W等于金屬框產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)功能關系和焦耳定律求解．

解答 解：（1）金屬框進入磁場階段產(chǎn)生的電動勢  E₁=B₀Lv                
產(chǎn)生逆時針方向的感應電流，感應電流的大小 I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
則通過回路的電荷量 q=I₁•$\frac{L}{v}$=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$                                                        
（2）當金屬框完全在磁場中運動時穿過線框的磁通量不變，所以回路中沒有感應電流，ab兩點之間的電勢差等于ab棒上產(chǎn)生的電動勢，所以U_ab=BLv．所以該同學的說法是不合理的． 
（3）線圈進入磁場時，cd邊克服安培力做的功為
W₁=$\frac{{E}_{1}^{2}}{R}•\frac{L}{v}$=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{R}$                                                                                       
線圈在磁場內(nèi)運動時，cd 克服安培力做功的功率
P=Fv=BI₂Lv=$\frac{{B}_{0}Lv}{2R}$•L•（B₀+k△t）v
其中，k=$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}v}{2l}$                
此過程克服安培力做的功 W₂=$\overline{P}$t=$\frac{{P}_{1}+{P}_{2}}{2}$t=$\frac{\frac{{B}_{0}{L}^{2}v}{2R}•{B}_{0}+\frac{{B}_{0}{L}^{2}v}{2R}•2{B}_{0}}{2}$$•\frac{2L}{v}$=$\frac{3{B}_{0}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{4R}$•$\frac{2L}{v}$=$\frac{3{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$           
則 W=W₁+W₂=$\frac{5{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$．
答：（1）金屬框進入磁場階段，通過回路的電荷量為$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$；
（2）不合理，因為沒有感應電流，只有感應電動勢；當金屬框完全在磁場中運動時ab之間的電勢差是BLv．
（3）金屬框穿過磁場區(qū)的過程中cd邊克服安培力做的功W為$\frac{5{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$．

點評 本題考查了電磁感應與電路、圖象和能量的綜合，關鍵要有分段研究感應電動勢、感應電流和功的能力，特別是明確當功率均勻增大時，要知道平均功率等于初、末功率的平均值．