Question

8．用量子技術(shù)生產(chǎn)十字元件時(shí)用到了圖甲中的裝置：四個(gè)挨得很近的圓是半徑均為R的光滑絕緣圓柱體的橫截面，它們形成四個(gè)非常細(xì)窄的狹縫a、b、c、d和一個(gè)類十字空腔，圓柱和空腔所在的區(qū)域均存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小可調(diào)節(jié)．質(zhì)量為m、電荷量為q、速度為v的帶正電離子，從狹縫a處射入空腔內(nèi)，速度方向在紙面內(nèi)且與兩圓相切．設(shè)離子在空腔內(nèi)與圓柱體最多只發(fā)生一次碰撞，碰撞時(shí)間極短且速度大小不變；速度方向的改變遵循光的反射定律．
（1）若B的大小調(diào)節(jié)為$\frac{mv}{qR}$，離子從何處離開空腔？并求出它在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（2）為使離子從狹縫d處離開空腔，B應(yīng)調(diào)至多大？
（3）當(dāng)從狹縫d處射出的離子垂直極板從A孔進(jìn)入由平行金屬板M、N構(gòu)成的接收器時(shí)，兩板間立即加上圖乙所示變化周期為T的電壓，則U₀為多大時(shí)，該離子將不會(huì)從B孔射出？兩板相距L（L＞vT），板間可視為勻強(qiáng)電場．

Answer 1

分析 （1）先求得離子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及周期，再通過幾何關(guān)系即可求得出射點(diǎn)及中心角，進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求得離子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，進(jìn)而由洛倫茲力作向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）通過離子不會(huì)從B孔射出，得到離子在一個(gè)周期內(nèi)的位移為零，進(jìn)而得到速度和周期、加速度的關(guān)系式，則可求解U₀．

解答 解：（1）離子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作向心力，所以有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{r}$，所以，$r=\frac{mv}{Bq}=R$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T'=\frac{2πr}{v}=\frac{2πR}{v}$；
由于離子在a點(diǎn)向上偏轉(zhuǎn)，則離子從狹縫b離開空腔，它在磁場在運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{1}{4}T'=\frac{πR}{2v}$；
（2）因?yàn)殡x子在a點(diǎn)的圓心位于a點(diǎn)的上方，又有離子在空腔內(nèi)與圓柱體最多只發(fā)生一次碰撞，碰撞時(shí)間極短且速度大小不變；速度方向的改變遵循光的反射定律，
所以，粒子必與圓柱體碰撞一次，且碰撞位置在狹縫a，d的垂直平分線上，則如圖所示，

則有r²=（r-R+Rcos45°）²+（R+R-Rsin45°）²；
所以，r=3R；又有$r=\frac{mv}{B'q}$，所以，$B'=\frac{mv}{qr}=\frac{mv}{3qR}$；
（3）兩板間立即加上圖乙所示變化周期為T的電壓，則粒子速度變化如圖所示，
，
那么要是離子不從B孔射出，則$v-\frac{q{U}_{0}}{mL}•\frac{T}{2}=-v$，所以，${U}_{0}=\frac{2v•2mL}{qT}=\frac{4mLv}{qT}$．
答：（1）若B的大小調(diào)節(jié)為$\frac{mv}{qR}$，離子從狹縫b離開空腔，它在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為$\frac{πR}{2v}$；
（2）為使離子從狹縫d處離開空腔，B應(yīng)調(diào)至$\frac{mv}{3qR}$；
（3）當(dāng)從狹縫d處射出的離子垂直極板從A孔進(jìn)入由平行金屬板M、N構(gòu)成的接收器時(shí)，兩板間立即加上圖乙所示變化周期為T的電壓，則U₀為$\frac{4mLv}{qT}$時(shí)，該離子將不會(huì)從B孔射出．

點(diǎn)評 帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，通常根據(jù)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，應(yīng)用幾何關(guān)系求得半徑，進(jìn)而求得磁感應(yīng)強(qiáng)度、速度等問題．