Question

17．在光滑水平桌面中央固定一邊長為0.3m的小正三棱柱abc俯視如圖所示．長度為L=1m的細(xì)線，一端固定在a點(diǎn)，另一端拴住一個質(zhì)量為m=1kg、不計(jì)大小的小球．初始時刻，把細(xì)線拉直在ca的延長線上，并給小球以v₀=1m/s且垂直于細(xì)線方向的水平速度，由于棱柱的存在，細(xì)線逐漸纏繞在棱柱上．已知細(xì)線所能承受的最大張力為8N，求：
（1）小球從開始運(yùn)動至繩斷時的位移．
（2）繩斷裂前小球運(yùn)動的總時間．

Answer 1

分析 細(xì)線斷裂之前，繩子拉力與速度垂直，小球的速度大小不變．繩子剛斷裂時，拉力大小為8N，由F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$求出此時的半徑．小球每轉(zhuǎn)120°半徑減小0.3m，確定出小球轉(zhuǎn)動的圈數(shù)，求出時間．根據(jù)初位置、末位置的直線距離求解位移大�。�

解答 解：（1）對小球，由牛頓第二定律，有：
${T}_{max}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：
R=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{{T}_{max}}$=$\frac{1×{1}^{2}}{8}$=0.125m
小球每轉(zhuǎn)120°半徑減小0.3m，細(xì)線斷裂之前，小球恰好運(yùn)動一圈，故運(yùn)動的位移大小為：
S=1m-0.1m=0.9m
（2）細(xì)線斷裂之前，小球恰好運(yùn)動一圈，運(yùn)動時間：
t=$\frac{\frac{2}{3}π[L+（L-a）+（L-2a）]}{{v}_{0}}$=$\frac{2π（3L-3a）}{{v}_{0}}$=1.4πs
答：（1）小球從開始運(yùn)動至繩斷時的位移為0.9m；
（2）繩斷裂前小球運(yùn)動的總時間為1.4πs．

點(diǎn)評 本題是物理數(shù)列類型，通過分析，抓住小球每轉(zhuǎn)120°半徑減小0.3m，確定出小球轉(zhuǎn)動的圈數(shù)是關(guān)鍵．