Question

11．已知一個可視為球體的天體，其自轉周期為T，在它的赤道上，用彈簧秤測某一物體的重力是在它兩極處測得的重力的0.8倍，已知萬有引力常量為G．求該天體的平均密度ρ是多少？

Answer 1

分析 兩極處的萬有引力等于物體的重力，赤道處的重力等于萬有引力與物體繞地球自轉所需的向心力之差．結合表達式整理可得此星球的密度．

解答 解：設物塊的質(zhì)量為m，星球的質(zhì)量為M，半徑為R，
在兩極處：萬有引力等于物體的重力，則有
 $F=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
在赤道處：赤道處的重力等于萬有引力與物體繞地球自轉所需的向心力之差，則有
 0.8F=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
聯(lián)立以上兩式得：M=$\frac{20{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
則此星球的密度ρ=$\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{2}}=\frac{15π}{G{T}^{2}}$
答：該星體的平均密度ρ是$\frac{15π}{G{T}^{2}}$．

點評 解決本題要知道兩極和赤道處萬有引力與重力的關系，中等難度．