Question

18．北京成功申辦2022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，吸引了越來(lái)越多的體育愛(ài)好者參加滑雪運(yùn)動(dòng)，如圖所示是某一體育愛(ài)好者一次滑雪表演的簡(jiǎn)易示意圖，愛(ài)好者連同腳下滑板（可視為質(zhì)點(diǎn)）的總質(zhì)量為m=60kg，愛(ài)好者從某一可視為光滑的傾斜滑雪軌道由靜止滑下，軌道的底端有一質(zhì)量為M=90kg的小車(chē)靜止在光滑的水平冰面上，小車(chē)是由半徑為R=1m的四分之一光滑圓弧軌道和長(zhǎng)為L(zhǎng)=5m的平直軌道組成，平直軌道與傾斜軌道底端在同一高度，已知愛(ài)好者開(kāi)始下滑的位置離小車(chē)平直軌道的高度為h₀=5m，g取10m/s²．
（1）若小車(chē)被固定，測(cè)得愛(ài)好者滑出小車(chē)后離小車(chē)頂端的最大高度為h₁=3m，求愛(ài)好者的滑板與小車(chē)平直軌道部分的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）若小車(chē)不固定，愛(ài)好者仍從原位置由靜止滑下，求愛(ài)好者滑離小車(chē)后小車(chē)頂端的最大高度h₂；
（3）在（2）問(wèn)基礎(chǔ)上通過(guò)分析計(jì)算說(shuō)明：愛(ài)好者會(huì)不會(huì)從小車(chē)左端滑離小車(chē)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)愛(ài)好者由靜止滑下到運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理列式求解動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（2）若小車(chē)不固定，由機(jī)械能守恒定律求出愛(ài)好者滑到斜面底端時(shí)的速度大�。異�(ài)好者在小車(chē)上滑動(dòng)時(shí)，愛(ài)好者與小車(chē)組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒．由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求愛(ài)好者滑離小車(chē)后小車(chē)頂端的最大高度h₂；
（3）對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求出物塊在小車(chē)水平部分滑行的距離，從而判斷愛(ài)好者會(huì)不會(huì)從小車(chē)左端滑離小車(chē)．

解答 解：（1）愛(ài)好者由靜止滑下運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
mg（h₀-h₁-R）-μmgL=0
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.2
（2）愛(ài)好者由靜止滑下，設(shè)滑到軌道底端時(shí)速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律得：
mgh₀=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ 
設(shè)愛(ài)好者到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，高小車(chē)頂端的高度為h₂，此時(shí)小車(chē)的速度也為v₂．從愛(ài)好者滑上小車(chē)到運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)過(guò)程中，取水平向右為正方向，由水平方向動(dòng)量守恒得：
mv₁=（M+m）v₂．
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²+mg（R+h₂）+μmgL
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：h₂=1m
（3）設(shè)愛(ài)好者滑回小車(chē)，在小車(chē)平直軌道離小車(chē)左端x處相對(duì)小車(chē)靜止，此時(shí)兩者的共同速度仍為v₂，從愛(ài)好者滑上小車(chē)到相對(duì)小車(chē)靜止的過(guò)程中，由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²+2μmg（2L-x）
代入數(shù)據(jù)解得：x=-5m＜0
計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，愛(ài)好者能滑出小車(chē)．
答：（1）愛(ài)好者的滑板與小車(chē)平直軌道部分的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是0.2．
（2）愛(ài)好者滑離小車(chē)后小車(chē)頂端的最大高度h₂是1m．
（3）愛(ài)好者會(huì)從小車(chē)左端滑離小車(chē)．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚愛(ài)好者的運(yùn)動(dòng)情況，把握隱含的臨界條件，如愛(ài)好者滑至最高點(diǎn)時(shí)與小車(chē)的速度相同是解決本題的關(guān)鍵．要知道摩擦產(chǎn)生的熱量與相對(duì)路程有關(guān)．