Question

17．如圖所示，水平轉臺上放著質量均為1kg的A、B兩個小物塊，其中B用長L=0.25m的細線與固定在中心軸處的力傳感器相連，細線能承受的最大拉力為8N．A、B間的動摩擦因數為μ₁=0.4，B與轉臺間的動摩擦因數為μ₂=0.1，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，轉臺靜止時，細線剛好伸直，力傳感器讀數為零，當轉臺以不同的角速度ω勻速轉動時，傳感器會顯示相應的讀數，試通過計算寫出F和ω間的函數表達式（取g=10m/s²，設A、B一旦發(fā)生相對滑動，A立即從B上滑下并忽略A從B上滑下去的時間）

Answer 1

分析 對AB整體分析，當繩子剛有拉力時，摩擦力達到最大，根據牛頓第二定律求出繩子剛有拉力時轉盤的角速度，從而得出拉力為零時的角速度范圍．對B分析，通過最大靜摩擦力結合牛頓第二定律求出剛要滑動時的角速度，根據牛頓第二定律求出此時拉力的表達式以及角速度的范圍．對A分析，根據最大拉力以及A所受的最大靜摩擦力，通過牛頓第二定律求出繩子剛要斷時的角速度，以及繩子拉力的表達式．

解答 解：對AB整體分析，當繩子剛有拉力時，根據牛頓第二定律得：${μ}_{1}•2mg=2m{rω}_{1}^{2}$，
當B物體與將發(fā)生滑動時的角速度為：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{{μ}_{1}g}{r}}=\sqrt{\frac{1}{0.25}}=2rad/s$；
則：F=0，ω∈[0，2]；
當A物體所受的摩擦力大于最大靜摩擦力時，A將要脫離B物體，此時的角速度由：${μ}_{2}mg=mr{ω}^{2}$得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{{μ}_{2}g}{r}}=4rad/s$
則：$F=2m{ω}^{2}r-{μ}_{1}•2mg=0.5{ω}^{2}-2$（ω∈[2，4]）
此時繩子的張力為：T=2mω²r-μ₁2mg=2×16×0.25-2=6N＜8N，故繩子末斷
接下來隨角速度的增大，B脫離A物體．
只有A物體作勻速圓周運動，當拉力最大時的角速度為ω₃，根據牛頓第二定律得：
${T}_{max}+{μ}_{1}mg=m{rω}_{3}^{2}$
則：${ω}_{3}=\sqrt{\frac{8+1}{0.25}}=6rad/s$，
則當角速度為：ω₂，mrω²=1×16×0.25=4N＞μ₁mg
即繩子產生了拉力．
則：$F=2m{ω}^{2}r-{μ}_{1}mg=0.25{ω}^{2}-1$，ω∈[4，6]．
則坐標系中作出 F-ω²圖象如圖所示．
答：當0≤ω≤2rad/s時，F=0
當2rad/s＜ω≤4rad/s時，F=0.5ω²-2
當4rad/s＜ω≤6rad/s時，F=0.25ω²-1

點評 解決本題的關鍵正確地確定研究對象，搞清向心力的來源，結合臨界條件，通過牛頓第二定律進行求解