Question

20．萬(wàn)有引力定律清楚的向人們揭示復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的背后隱藏著簡(jiǎn)潔的科學(xué)規(guī)律，天上和地上的萬(wàn)物遵循同樣的科學(xué)法則，具有內(nèi)在的一致性．
（1）利用萬(wàn)有引力定律可以測(cè)量天體的質(zhì)量．
英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許，在實(shí)驗(yàn)室里巧妙地利用扭秤裝置，比較精確地測(cè)量出了引力常量的數(shù)值，他把自己的實(shí)驗(yàn)說(shuō)成是“稱量地球的質(zhì)量”．
已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G．若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，求地球的質(zhì)量M．
（2）利用萬(wàn)有引力定律可以測(cè)量地面上山的高度．
由于地球自轉(zhuǎn)的影響，物體所受的萬(wàn)有引力的一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，另一個(gè)分力為重力，因此地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同．如在北極處由于向心力為0，重力加速度最大；而在赤道處，萬(wàn)有引力、向心力和重力方向相同，向心力最大，因而重力加速度最小．用測(cè)力計(jì)稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重力，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果．已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，引力常量為G．將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，測(cè)力計(jì)的讀數(shù)是F₀．
（i）若在北極上空高出地面h處的山頂稱量，測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F₁，求出$\frac{h}{R}$的表達(dá)式，并就$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km的情形算出h的具體數(shù)值（已知$\sqrt{1.002}$=1.001，計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．
（ii） 若在赤道地面稱量，測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F₂，求比值$\frac{F_2}{F0}$的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，可解得地球的質(zhì)量M．
（2）（i）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得出$\frac{h}{R}$比值的表達(dá)式，并就$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km的情形帶入求出具體的數(shù)值．
（ii）在赤道，由于萬(wàn)有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，根據(jù)該規(guī)律求出比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式．

解答 解：（1）設(shè)地球表面上一物體的質(zhì)量為m，
根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
（2）（i）在地球北極點(diǎn)不考慮地球自轉(zhuǎn)，則秤所稱得的重力則為其萬(wàn)有引力，于是
${F}_{0}=\frac{GMm}{{R}^{2}}$①
${F}_{1}=\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$②
解得：$\frac{h}{R}=\sqrt{\frac{{F}_{0}}{{F}_{1}}}-1$
若$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km，
解得：h=$（\sqrt{1.002}-1）×6.4×1{0}^{6}m=6.4×1{0}^{3}m$，
（ii） 在赤道處，根據(jù)向心力公式得：
${G\frac{Mm}{{R}^{2}}-}_{\;}{F}_{2}=m{ω}^{2}R$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$③
由①③解得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}=1-\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}GM}$
答：（1）地球的質(zhì)量M為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）（i）$\frac{h}{R}$的表達(dá)式為$\frac{h}{R}=\sqrt{\frac{{F}_{0}}{{F}_{1}}}-1$，h的具體數(shù)值為6.4×10³m；
（ii）比值$\frac{F_2}{F0}$的表達(dá)式為$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}=1-\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}GM}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在地球的兩極，萬(wàn)有引力等于重力，在赤道，萬(wàn)有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力．