Question

12．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的三顆星組成的三星系統(tǒng)．設(shè)三星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，三顆星的球心穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上．三顆星圍繞等邊三角形的重心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量為G．關(guān)于三星系統(tǒng)，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 三顆星的軌道半徑均為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$
• B． 三顆星表面的重力加速度均為$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• C． 一顆星的質(zhì)量發(fā)生變化，不影響其他兩顆星的運(yùn)動(dòng)
• D． 三顆星的周期均為2πa$\sqrt{\frac{a}{3Gm}}$

Answer 1

分析 先寫(xiě)出任意兩個(gè)星星之間的萬(wàn)有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．
然后用R表達(dá)出它們的軌道半徑，最后寫(xiě)出用周期和線速度表達(dá)的向心力的公式，整理即可的出結(jié)果．

解答 解：A、由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，故A正確．
B、在星球表面重力等于萬(wàn)有引力$m′g=G\frac{mm′}{{R}^{2}}$，解得$g=\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故B錯(cuò)誤．
C、一顆星的質(zhì)量發(fā)生變化，萬(wàn)有引力大小變化，合力不指向三角形中心，會(huì)影響其他兩顆星的運(yùn)動(dòng)．故C錯(cuò)誤．
D、任意兩個(gè)星星之間的萬(wàn)有引力F=$G\frac{mm}{{a}^{2}}$
每一顆星星受到的合力，F(xiàn)₁=$\sqrt{3}F$
合力提供它們的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得T=$2πa\sqrt{\frac{a}{3Gm}}$，故D正確．
故選：AD．

點(diǎn)評(píng) 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．