Question

20．如圖所示，等腰三角形OPQ區(qū)域內存在場強方向沿PQ方向、大小為E的勻強電場，A為PQ的中點，D為OQ的中點，PQ=2L，θ=30°．一質量為m、電量為 q的帶正電粒子（重力不計、初速度視為零），從靠近M板O′處由靜止釋放，經兩平行金屬板M、N間的電場加速后，通過N板上的小孔沿AO方向從A點射入三角形OPQ區(qū)域，粒子恰好從D點射出電場．
（1）求M、N兩板間的電壓U及粒子過A點時的速率v；
（2）若將三角形OPQ區(qū)域內的電場撤去，在此區(qū)域內及其邊界上充滿方向垂直紙面向里的勻強磁場，該粒子仍從O′處由靜止釋放，要使該粒子在三角形OPQ區(qū)域中運動的時間最長，磁場的磁感應強度B應為多大？并求在磁場中運動的最長時間t_m．

Answer 1

分析 （1）因做類平拋運動，則由兩個方向上分別列位移方程求解．
（2）由運動軌跡確定運動圓的半徑，再由洛倫茲力提供向心力確定B，由周期公式得時間．

解答 解：（1）粒子在兩板間電場加速，根據動能定理有：
          qU=$\frac{1}{2}$mυ²
   粒子在三角形OPQ區(qū)域中做類平拋運動，有：
  
     $\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$at²   $\frac{1}{2}$Ltanθ=υt
根據牛頓第二定律有：qE=ma
解得：U=$\frac{1}{24}$EL，υ=$\sqrt{\frac{qEL}{12m}}$．
（2）由t=$\frac{s}{υ}$知，當υ一定時，弧長s最大即軌跡圓弧恰好與OP邊相切（如圖所示）時t最大．設軌跡圓弧與OP邊相切時圓弧的半徑為R，有：

R+$\frac{R}{sinθ}$=L
qυB=m$\frac{υ2}{R}$
t_m=$\frac{πR}{υ}$
解得：B=$\sqrt{\frac{3mE}{4qL}}$  t_m=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{mL}{3qE}}$ 
答：（1）M、N兩板間的電壓U為U=$\frac{1}{24}$EL，及粒子過A點時的速率為$\sqrt{\frac{qEL}{12m}}$．
    （2）磁場的磁感應強度B為B=$\sqrt{\frac{3mE}{4qL}}$ 磁場中運動的最長時間為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{mL}{3qE}}$．

點評 處理帶電粒子在磁場中運動問題，關鍵作出粒子的運動軌跡，會確定圓周運動的圓心、半徑、圓心角，結合半徑公式、周期公式進行求解