Question

如圖所示，皮帶傳動(dòng)裝置與水平面夾角為30°，兩輪軸心相距L=3.8m，A、B分別為傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑。一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=  ，g取10m/s²。

（1）當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針?lè)较蛞?i>v₁=3m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將小物塊無(wú)初速地放在A點(diǎn)后，它運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)需多長(zhǎng)時(shí)間？

（2）當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊無(wú)初速地放在A點(diǎn)下方5cm處的C點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)飛出。要想使小物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，則傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₂至少多大？以v₂運(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊與傳送帶間的相對(duì)路程為多少？

Answer 1

解答：（1）當(dāng)小物塊速度小于3m/s時(shí)，小物塊受到豎直向下、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a₁，根據(jù)牛頓第二定律

mgsin30° + μmgcos30°=ma₁  解得 a₁ = 7.5m/s²                           2分

當(dāng)小物塊速度等于3m/s時(shí)，設(shè)小物塊對(duì)地位移為L₁，用時(shí)為t₁，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律

t₁ =        L₁ =                                                  2分       

解得 t₁ = 0.4s                                                         1分

L₁ = 0.6m                                                            

由于L₁＜L 且μ＜tan30°，當(dāng)小物塊速度大于3m/s時(shí)，小物塊將繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，設(shè)加速度為a₂，用時(shí)為t₂，根據(jù)牛頓第二定律和勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律

mgsin30°－μmgcos30°=ma₂                                                                  2分

解得  a₂ = 2.5m/s²        L－L₁ = v₁t₂ + a₂t₂²                                         1分

解得 t₂ = 0.8s

故小物塊由靜止出發(fā)從A到B所用時(shí)間為 t = t₁ + t₂ = 1.2s                  2分

（2）作v—t圖分析知：傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度越大，小物塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)用時(shí)越短，當(dāng)傳送帶速度等于某一值v′ 時(shí)，小物塊將從A點(diǎn)一直以加速度a₁做勻加速直線運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，所用時(shí)間最短，即

L = a₁t_min²                                                                                   2分

解得t_min = 1s

v′ =a₁t_min =7.5m/s                                                   2分

此時(shí)小物塊和傳送帶之間的相對(duì)路程為 △S = v′ t－L = 3.75m            2分

【思路點(diǎn)撥】本題求解的關(guān)鍵是物塊的速度與傳送帶的速度比較，當(dāng)物塊速度小于或等于傳送帶速度時(shí)，物塊所受摩擦力方向沿斜面方向向下，當(dāng)大于時(shí)物塊所受摩擦力方向沿斜面方向向上，由此進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求加速度，再依據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求時(shí)間。第二問(wèn)要求最短時(shí)間，摩擦力方向沿斜面向下，加速度為：mgsin30° + μmgcos30°=ma₁  解得 a₁ = 7.5m/s²是物塊一直作勻加速?gòu)腁運(yùn)動(dòng)到B。小物塊與傳送帶間的相對(duì)路程，是皮帶在這段時(shí)間勻速運(yùn)動(dòng)的位移與CB距離之差。