Question

1．如圖所示，半徑為R=2.25m的光滑圓規(guī)軌道BCD豎直放置，D與圓心O等高，C為軌道的最低點(diǎn)，該圓弧軌道與一長為l=4m傾斜傳送帶AB相切于B，OC與OB的夾角為37°．一質(zhì)量為m=0.5g的小滑塊從A點(diǎn)由靜止開始下滑，通過調(diào)整傳送帶的速度可以使小滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入光滑軌道到達(dá)CD段的不同位置，已知滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，傳送帶與水平面的夾角為37°，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，滑塊從A點(diǎn)滑至C點(diǎn)過程中，重力勢能減少多少？
（2）當(dāng)傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求滑塊第一次經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)所受支持力的大�。�
（3）當(dāng)傳送帶以某一速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑塊恰好不從D處滑出，求從A點(diǎn)下滑至第一次返回傳送帶速度減為零的過程摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）重力做的功等于物體重力勢能的減小量；
（2）從A到C利用動(dòng)能定理求出到達(dá)C點(diǎn)的速度，由牛頓第二定律求出物體受到的支持力；
（3）滑塊恰好不從D處滑出，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度剛好為零，從B到D由動(dòng)能定理即可求得到達(dá)B點(diǎn)速度，再根據(jù)動(dòng)能定理結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解．

解答 解：（1）BC間的豎直高度h₁=R-Rsin53°=0.2R=0.45m
AB間的豎直高度h₂=lsin37°=2.4m
則AC間高度差h=h₁+h₂=2.85m             
所以滑塊從P滑到B減少的重力勢能為△E_p=mgh=0.5×10^-3×10×2.85=0.01425J；
（2）當(dāng)傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑塊在傳送到上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，從A到C的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0=mgh-μmgcos37°l$
在C點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：F_N=0.0175N
（3）滑塊恰好不從D處滑出，則到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，速度為零，
根據(jù)B到D的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$0-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-mgRsin53°$
解得：v_B=6m/s，
第一次從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0=mglsin37°+{W}_{f1}$
解得：${W}_{f1}=-3×1{0}^{-3}J$
從B處沖上傳送帶做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，
加速度a=$\frac{-mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=-10m/s²，
則上滑的位移x=$\frac{0-{{v}_{B}}^{2}}{2a}=\frac{0-36}{-20}=1.8m$，
此過程中，摩擦力做的功W_f2=-μmgcos37°x=-0.5×0.5×10^-3×10×0.8×1.8=-3.6×10^-3J
則整個(gè)過程中，摩擦力做的功為W=${W}_{f1}+{W}_{f2}=-6.6×1{0}^{-3}J$
答：（1）當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，滑塊從A點(diǎn)滑至C點(diǎn)過程中，重力勢能減少0.01425J；
（2）當(dāng)傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求滑塊第一次經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)所受支持力的大小為0.0175N；
（3）從A點(diǎn)下滑至第一次返回傳送帶速度減為零的過程摩擦力做的功為-6.6×10^-3J．

點(diǎn)評 本題是動(dòng)能定理與牛頓定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于研究過程的選擇，知道滑塊恰好不從D處滑出，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度剛好為零，難度適中．