Question

18．如圖所示，整個裝置固定在水平面上，其中ABCD為豎直平面內光滑的$\frac{3}{4}$圓弧軌道，O點為圓心，軌道半徑R=1m，D為軌道的最高點；AE為足夠長的水平軌道，且COAE在同一水平線上，今將質量為m的小球從A點的正上方高h處由靜止釋放，讓其自由下落到A處切入圓弧軌道運動．不計空氣阻力（g=10m/s²），求：
（1）當h=5m時，小球到達A點時的速度大小是多少？
（2）當下落高度h為多大時，小球經過D點是對軌道恰好無壓力？
（3）若在（2）問中小球剛過D點的同時，從AE軌道的E點由靜止啟動一電動車（可視為質點），小車以加速度a=5m/s²沿直線向A點行駛，為使小球恰好落入下車中，則AE的距離為多少？

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律求解小球到達A點時的速度大�。�
（2）小球經過D點時對軌道恰好無壓力時由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求得小球經過D點時的速度，再由機械能守恒定律求解h．
（3）小球過D點后做平拋運動，根據平拋運動的規(guī)律可求得小球從D運動到AE的時間，根據相遇的位移關系求解．

解答 解：（1）當h=5m時，根據機械能守恒定律得：
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
可得小球到達A點時的速度大小 v_A=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×5}$=10m/s
（2）小球經過D點是對軌道恰好無壓力時由重力提供向心力，根據牛頓第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，v_D=$\sqrt{gR}$
從小球開始下落到D點的過程中，由機械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+mgR
聯(lián)立解得：h=$\frac{3}{2}R$=1.5m
（3）小球過D點后做平拋運動，則有：
  R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1}{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$s
平拋運動的水平位移為 x=v_Dt=$\sqrt{gR}$•$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{2}$R=$\sqrt{2}$m
為使小球恰好落入下車中，必須有：AE=（x-R）+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\sqrt{2}$-1+$\frac{1}{2}×5×（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}$=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$≈0.914m
答：（1）當h=5m時，小球到達A點時的速度大小是10m/s．
（2）當下落高度h為1.5m時，小球經過D點是對軌道恰好無壓力．
（3）為使小球恰好落入下車中，則AE的距離為0.914m．

點評 解決本題的關鍵知道小球做圓周運動在最高點的臨界情況，結合平拋運動的規(guī)律和運動學公式進行求解．