Question

14．回旋加速器是用來(lái)加速帶電粒子的裝置，如圖為回旋加速器的示意圖．D₁、D₂是兩個(gè)中空的鋁制半圓形金屬扁盒，在兩個(gè)D形盒正中間開(kāi)有一條狹縫，兩個(gè)D形盒接在高頻交流電源上．在D₁盒中心A處有粒子源，產(chǎn)生的帶正電粒子在兩盒之間被電場(chǎng)加速后進(jìn)入D₂盒中．兩個(gè)D形盒處于與盒面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，帶電粒子在磁場(chǎng)力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周后，再次到達(dá)兩盒間的狹縫，控制交流電源電壓的周期，保證帶電粒子經(jīng)過(guò)狹縫時(shí)再次被加速．如此，粒子在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中一次一次地經(jīng)過(guò)狹縫，一次一次地被加速，速度越來(lái)越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越來(lái)越大，最后到達(dá)D形盒的邊緣，沿切線方向以最大速度被導(dǎo)出．已知帶電粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m，加速時(shí)狹縫間電壓大小恒為U，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，D形盒的半徑為R，狹縫之間的距離為d．設(shè)從粒子源產(chǎn)生的帶電粒子的初速度為零，不計(jì)粒子受到的重力，求：
（1）帶電粒子能被加速的最大動(dòng)能E_k；
（2）帶電粒子在D₂盒中第n個(gè)半圓的半徑；
（3）若帶電粒子束從回旋加速器輸出時(shí)形成的等效電流為I，求從回旋加速器輸出的帶電粒子的平均功率$\overline P$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$知，當(dāng)R最大時(shí)，速度最大，求出最大速度，根據(jù)E_K=$\frac{1}{2}$mv²求出粒子的最大動(dòng)能．
（2）粒子被加速一次所獲得的能量為qU，求出第n次加速后的動(dòng)能E_Kn=$\frac{1}{2}$mv_n²=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}_{n}^{2}}{2m}$=（2n-1）qU，進(jìn)而可求出第n個(gè)半圓的半徑；
（3）根據(jù)電流的定義式I=$\frac{Q}{t}$和Q=Nq以及P=$\frac{N•\frac{1}{2}m{v}^{2}}{t}$，即可求解．

解答 解：（1）粒子在D形盒內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑達(dá)到最大時(shí)被引出，具有最大動(dòng)能．
設(shè)此時(shí)的速度為v，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得v=$\frac{qBR}{m}$
粒子的最大動(dòng)能E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$
（2）粒子被加速一次所獲得的能量為qU，粒子在D₂盒中被第n次加速后的動(dòng)能為
E_Kn=$\frac{1}{2}$mv_n²=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}_{n}^{2}}{2m}$=（2n-1）qU，
 因此第n個(gè)半圓的半徑R_n=$\frac{1}{Bq}\sqrt{2（2n-1）qmU}$；
（3）帶電粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，帶電粒子離開(kāi)加速器時(shí)速度大小為v，由牛頓第二定律知：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…③
帶電粒子運(yùn)動(dòng)的回旋周期為：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$…④
由回旋加速器工作原理可知，交變電源的頻率與帶電粒子回旋頻率相同，由周期T與頻率f的關(guān)系可得：f=$\frac{1}{T}$…⑤
設(shè)在t時(shí)間內(nèi)離開(kāi)加速器的帶電粒子數(shù)為N，則帶電粒子束從回旋加速器輸出時(shí)的平均功率P=$\frac{N•\frac{1}{2}m{v}^{2}}{t}$…⑥
輸出時(shí)帶電粒子束的等效電流為：I=$\frac{Nq}{t}$…⑦
由上述各式得$\overline{P}$=$\frac{πBI{R}^{2}}{T}$=$\frac{{B}^{2}{R}^{2}Iq}{2m}$；
答：（1）帶電粒子能被加速的最大動(dòng)能$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$；
（2）帶電粒子在D₂盒中第n個(gè)半圓的半徑$\frac{1}{Bq}\sqrt{2（2n-1）qmU}$；
（3）若帶電粒子束從回旋加速器輸出時(shí)形成的等效電流為I，求從回旋加速器輸出的帶電粒子的平均功率$\frac{{B}^{2}{R}^{2}Iq}{2m}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道回旋加速器利用磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)和電場(chǎng)加速實(shí)現(xiàn)加速粒子，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期和交流電的周期相等，注意第3問(wèn)題，建立正確的物理模型是解題的關(guān)鍵．