Question

(9分)鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的。彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)外軌高度差h的設(shè)計不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上的行駛速率。下圖表格中是鐵路設(shè)計人員技術(shù)手冊中彎道半徑r及與之對應(yīng)的軌道的高度差h。
彎道半徑r/m 660 330 220 165 132 110
內(nèi)外軌高度差h/mm        50 100 150 200 250 300
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導(dǎo)出h和r關(guān)系的表達(dá)式，并求出當(dāng)r=440m時，h的設(shè)計值；
（2）鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內(nèi)外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國鐵路內(nèi)外軌的間距設(shè)計值為L=1435mm，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，算出我國火車的轉(zhuǎn)彎速率v（以km/h為單位，結(jié)果取整數(shù)；路軌傾角很小時，正弦值按正切值處理）（g取9.8m/s²）
（3）隨著人們生活節(jié)奏加快，對交通運(yùn)輸?shù)目旖萏岢隽烁�高的要求。為了提高運(yùn)輸力，國家對鐵路不斷進(jìn)行提速，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需要提高。請根據(jù)上述計算原理和上述表格分析提速時應(yīng)采取怎樣的有效措施？

Answer 1

（1）h·r =33m²；75mm（2）54km/h；（3）a．適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h；  
b．適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r。

解析試題分析：（1）分析表中數(shù)據(jù)可得，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)
C=660m×50×10^-3m=33m²
因此h·r =33m²（或h=33m²或h·r=33000m·mm或h·r=3.3×10⁷mm²）①   
當(dāng)r=440m時，有：
h=m=0.075m=75mm                 
（2）轉(zhuǎn)彎中，當(dāng)內(nèi)外軌對車輪沒有側(cè)向壓力時，火車的受力如圖所示。由牛頓第二定律得：

②            
因為θ很小，有：③
由②、③可得：④
代入數(shù)據(jù)得：v=15m/s=54km/h 
（3）由④式可知，可采取的有效措施有：
a．適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h；  
b．適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r。
考點：圓周運(yùn)動及牛頓定律。