Question

1．如圖所示，在xoy平面內(nèi)，第二象限有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直xoy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場的右邊界為y軸，左邊界如圖虛曲線所示，設(shè)左邊界方程為y（x），有一簇質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的帶電微粒從P點(diǎn)以相同的速率v=$\frac{Bqa}{m}$沿斜向右上方的各個(gè)方向射出（即與x軸正方向的夾角為θ，0°＜θ＜90°），P點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，0）．其中有帶電微粒1從坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a，a-\frac{\sqrt{2}}{2}a$）Q點(diǎn)進(jìn)入磁場．
（不計(jì)帶電微粒間的相互作用及重力）則：
（1）微粒1第一次經(jīng)過y軸時(shí)速度方向及坐標(biāo)；
（2）微粒2出射角θ₂=30°，要使微粒2第一次經(jīng)過y軸時(shí)速度方向與微粒1第一次經(jīng)過y軸時(shí)速度方向一致，求微粒2進(jìn)入磁場時(shí)的坐標(biāo)應(yīng)為多少；
（3）要使所有帶電微粒第一經(jīng)過y軸時(shí)，速度方向一致，求磁場左邊界方程y（x）．

Answer 1

分析 （1）利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系即可求出粒子半徑大��；再利用幾何關(guān)系，即可求出微粒1第一次經(jīng)過y軸時(shí)速度方向及坐標(biāo)；
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)幾何關(guān)系，即可求出使微粒2第一次經(jīng)過y軸時(shí)速度方向與微粒1第一次經(jīng)過y軸時(shí)速度方向一致的微粒2進(jìn)入磁場時(shí)的坐標(biāo)；
（3）利用幾何關(guān)系，即可求出要使所有帶電微粒第一經(jīng)過y軸時(shí)，速度方向一致，磁場左邊界方程y（x）．

解答 解：（1）微粒1從P到Q做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系可知此時(shí)粒子出射的角度為θ₁=45°，
微粒1進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ①
又因?yàn)椋簐=$\frac{Bqa}{m}$②
聯(lián)立①②式可得：r=a
由幾何關(guān)系可知圓軌跡的圓心在y軸上如圖所示，則微粒1經(jīng)過y軸時(shí)速度方向沿x軸正方向與y軸垂直
根據(jù)幾何關(guān)系可得縱坐標(biāo)：y=（r-$\frac{\sqrt{2}}{2}$r）+（$a-\frac{\sqrt{2}}{2}a$）=（2-$\sqrt{2}$）a
所以坐標(biāo)為：（0，2a-$\sqrt{2}$a）
（2）微粒2出射角θ₂=30°，軌跡如圖，則進(jìn)入磁場的入射點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂） 

根據(jù)幾何關(guān)系可得：x₂=-asinθ₂ ③
y₂=（a+x₂）tanθ₂ ④
聯(lián)立③④式得：x₂=-$\frac{a}{2}$；y₂=$\frac{\sqrt{3}a}{6}$．
所以坐標(biāo)為（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{6}$）
（3）微粒出射角為θ，則軌跡如圖所示，

根據(jù)幾何關(guān)系可得：tanθ=$\frac{-x}{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}$ ⑤
tanθ=$\frac{y}{a+x}$ ⑥
聯(lián)立⑤⑥式得：y=$\frac{-x\sqrt{a+x}}{\sqrt{a-x}}$
答：（1）微粒1第一次經(jīng)過y軸時(shí)速度方向沿x軸正方向與y軸垂直，坐標(biāo)為（0，2a-$\sqrt{2}$a）；
（2）微粒2進(jìn)入磁場時(shí)的坐標(biāo)應(yīng)為（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{6}$）；
（3）磁場左邊界方程為y=$\frac{-x\sqrt{a+x}}{\sqrt{a-x}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要牢記磁場問題的解題思路，即：運(yùn)用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)平面幾何能力要求較高．