Question

10．如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，盤上疊放著質(zhì)量均為1kg的A、B兩個(gè)物塊，B物塊用長(zhǎng)為0.20m的細(xì)線與固定在轉(zhuǎn)盤中心處的力傳感器相連，兩個(gè)物塊和傳感器的大小均可不計(jì)．細(xì)線能承受的最大拉力為8N，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，B與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.18，且可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．轉(zhuǎn)盤靜止時(shí)，細(xì)線剛好伸直，傳感器的讀數(shù)為零．當(dāng)轉(zhuǎn)盤以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳感器上就會(huì)顯示相應(yīng)的讀數(shù)F（g=10m/s² ）．
（1）當(dāng)B與轉(zhuǎn)盤之間的靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，求轉(zhuǎn)盤的角速度ω₁；
（2）當(dāng)A與B恰好分離時(shí)，求F的大小和轉(zhuǎn)盤的角速度ω₂；
（3）試通過(guò)計(jì)算寫出F-ω²關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）對(duì)AB整體分析，當(dāng)繩子剛有拉力時(shí)，摩擦力達(dá)到最大，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子剛有拉力時(shí)轉(zhuǎn)盤的角速度，從而得出拉力為零時(shí)的角速度范圍．
（2）對(duì)B分析，通過(guò)最大靜摩擦力結(jié)合牛頓第二定律求出剛要滑動(dòng)時(shí)的角速度，根據(jù)牛頓第二定律求出此時(shí)拉力的表達(dá)式以及角速度的范圍．
（3）對(duì)A分析，根據(jù)最大拉力以及A所受的最大靜摩擦力，通過(guò)牛頓第二定律求出繩子剛要斷時(shí)的角速度，以及繩子拉力的表達(dá)式．

解答 解：（1）當(dāng)B物體將要發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，對(duì)AB物體：
μ₁2mg=2mω₁2r                                  
有 ${ω}_{1}=\sqrt{\frac{{μ}_{1}g}{r}}$
解得：ω₁=3rad/s                                   
（2）當(dāng)A物體所受的摩擦力大于最大靜摩擦力時(shí)，A將要脫離B物體，此時(shí)角速度由${mω}_{2}^{2}r={μ}_{2}mg$                
有${ω}_{2}=\sqrt{\frac{{μ}_{2}g}{r}}$
解得ω₂=5rad/s                                    
T=2mω²r-2μ₁mg
解得：T=6.4N                              
（3）如（1）（2）問(wèn)所求：
當(dāng)0≤ω≤ω₁時(shí)，F(xiàn)=0                     
當(dāng)ω₁≤ω≤ω₂時(shí)，F(xiàn)=2mω²r-μ₁•2mg=0.4ω²-3.6 （N） 
當(dāng)ω₂＜ω時(shí)，A物體所受的摩擦力大于最大靜摩擦力，A脫離B物體，此時(shí)只有B物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有牛頓第二定律有
F+μ₁mg=mω²r
當(dāng)繩子拉力達(dá)到最大值時(shí)，
${ω}_{3}=\sqrt{\frac{T+{μ}_{1}mg}{mr}}=\sqrt{\frac{8+1}{1×0.25}}=6rad/s$                   
所以：當(dāng)ω₂＜ω≤ω₃時(shí)，F(xiàn)=mω²r-μ₁mg=0.2ω²-1.8 （N）  
答：（1）當(dāng)B與轉(zhuǎn)盤之間的靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，轉(zhuǎn)盤的角速度ω₁為3rad/s
（2）當(dāng)A與B恰好分離時(shí)，F(xiàn)的大小和轉(zhuǎn)盤的角速度ω₂為6.4N
（3）F-ω²關(guān)系式為ω₁≤ω≤ω₂時(shí)，F(xiàn)=0.4ω²-3.6 （N） 
當(dāng)ω₂＜ω≤ω₃時(shí)，F(xiàn)=0.2ω²-1.8 （N）

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵正確地確定研究對(duì)象，搞清向心力的來(lái)源，結(jié)合臨界條件，通過(guò)牛頓第二定律進(jìn)行求解．