Question

12．一條河寬度為L(zhǎng)=1000m，水流速度為v_水=3m/s，一艘船在靜水中的速度為v_船=5m/s，求：
（1）船怎樣渡河時(shí)間最短？最短時(shí)間是多少？
（2）怎樣渡河位移最��？最小位移是多少？
（3）若v_水=4m/s；v_船=2m/s，怎樣渡河船漂下的距離最小？最小距離是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)船頭垂直河岸橫渡時(shí)，船的渡河時(shí)間最小；
（2）當(dāng)合速度與河岸垂直時(shí)，位移最��；
（3）根據(jù)三角形法則確定最小位移對(duì)應(yīng)的速度大小和方向．

解答 解：（1）當(dāng)船頭垂直河岸橫渡時(shí)，船的渡河時(shí)間最�。�
最短時(shí)間為：t_min=$\frac{L}{{v}_{船}}=\frac{1000m}{5m/s}=200s$；
（2）當(dāng)合速度與河岸垂直時(shí)，位移最��；
船頭與河岸夾角的余弦為：
cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}=\frac{3}{5}$，故θ=53°；
最小位移為1000m；
（3）若v_水=4m/s；v_船=2m/s，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，要使船漂下的航程最短，如圖所示，設(shè)船頭V_船與河岸成θ角，合速度v與河岸成α角．可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角越大呢？以V_水的矢尖為圓心，V_船為半徑畫(huà)圓，當(dāng)v與圓相切時(shí)，α角最大．根據(jù)cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}=\frac{3}{5}$，船頭與河岸的夾角為53°時(shí)，船漂下的距離最短，為：
x_min=（V_水-V_船cosθ）$\frac{L}{{v}_{船}sinθ}$=（4-2×0.6）×$\frac{1000}{2×0.8}$=1750m
答：（1）當(dāng)船頭垂直河岸橫渡時(shí)，船的渡河時(shí)間最短；最短時(shí)間是200s；
（2）船頭與河岸夾角為53°時(shí)，渡河位移最小，最小位移是1000m；
（3）若v_水=4m/s；v_船=2m/s，船頭與河岸夾角為53°時(shí)，渡河位移最小，最小距離是1750m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，以及知道靜水速與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短．若靜水速大于水流速，合速度方向與河岸垂直時(shí)，渡河位移最短；若靜水速小于水流速，則合速度方向與靜水速方向垂直時(shí)，渡河位移最短．