Question

1．2014年11月12日，“菲萊”著陸器成功在67P彗星上實(shí)現(xiàn)著陸，這是人類首次實(shí)現(xiàn)在彗星上軟著陸，被稱為人類歷史上最偉大冒險(xiǎn)之旅．載有“菲萊”的“羅賽塔”飛行器歷經(jīng)十年的追逐，被67P彗星俘獲后經(jīng)過一系列變軌，成功的將“菲萊”著陸器彈出，準(zhǔn)確得在彗星表面著陸．如圖所示，軌道1和軌道2是“羅賽塔”繞彗星環(huán)繞的兩個(gè)圓軌道，B點(diǎn)是軌道2上的一個(gè)點(diǎn)，若在軌道1上找一點(diǎn)A，使A與B的連線與BO連線的最大夾角為θ，則“羅賽塔”在軌道1、2上運(yùn)動(dòng)的周期之比$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$為（　　）

• A． sin³θ
• B． $\frac{1}{si{n}^{3}θ}$
• C． $\sqrt{si{n}^{3}θ}$
• D． $\sqrt{\frac{1}{si{n}^{3}θ}}$

Answer 1

分析 圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求得兩圓軌道上的半徑之比，再根據(jù)半徑求得周期之比．

解答 解：根據(jù)幾何關(guān)系連接OA可得三角形OAB是直角三角形，故軌道1和軌道2的半徑之比$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=sinθ$
再根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$
所以$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}}$=$\sqrt{si{n}^{3}θ}$
故ABD錯(cuò)誤，C正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)幾何關(guān)系確定兩圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比，再根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力分析．掌握公式規(guī)律是正確解題的關(guān)鍵．