Question

9．一靜止的帶電粒子電荷量為q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力），從P點(diǎn)經(jīng)電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場加速，運(yùn)動了距離L之后經(jīng)A點(diǎn)進(jìn)入右邊的有界磁場B₁，穿過B₁后再經(jīng)過空間足夠大的磁場B₂，B₁和B₂的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向相反，如圖所示，若帶電粒子能按某一路徑再由點(diǎn)A回電場并回到出發(fā)點(diǎn)P，而重復(fù)前述過程（虛線為相反方向的磁場分界面，并不表示有什么障礙物），求：
（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)的速度大��；
（2）磁場B₁的寬度d為多大；
（3）粒子在B₁和B₂兩個磁場中的運(yùn)動時間之比？

Answer 1

分析 （1）帶正電的粒子在電場中做勻加速直線運(yùn)動，由動能定理即可求出速度；
（2）垂直進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，畫出粒子運(yùn)動的軌跡，根據(jù)動能定理即可求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率；粒子在磁場中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場區(qū)域的寬度；
（3）先求出在電場中運(yùn)動的時間，再求出在兩段磁場中運(yùn)動的時間，三者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動到第一次回到O點(diǎn)所用時間．

解答 解：（1）帶電粒子由P到A的過程，由動能定理，有：
$EqL=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
在A點(diǎn)的速度大小為：
$v=\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$
（2）帶電粒子在磁場B₁和B₂中均做圓周運(yùn)動，運(yùn)動軌跡如圖所示，O₁、O₂、O₃為三段圓弧所對的圓心．
由$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2mqEL}}{Bq}$
設(shè)∠O₁O₂O₃為2θ，在Rt△O₁MN中，有：
$sinθ=\frac{\overline{{O}_{1}M}}{\overline{{O}_{1}N}}=\frac{r-rsinθ}{r}$
$sinθ=\frac{1}{2}$，$θ=\frac{π}{6}$左邊磁場寬度為：
$d=\overline{MN}=rcosθ=\frac{\sqrt{6mqEL}}{2Bq}$
（3）粒子在左邊磁場中的兩段圓弧所對應(yīng)的圓心角為：
${θ}_{1}=（\frac{1}{2}π-θ）×2=\frac{2π}{3}$
在右邊磁場中一段圓弧所對應(yīng)的圓心角為：
${θ}_{2}=（π-θ）×2=\frac{5π}{3}$
由于周期相同，故而左右兩個磁場中的運(yùn)動時間之比為：
$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}=\frac{2}{5}$
答：（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)的速度大小是$\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$；
（2）磁場B₁的寬度d為$\frac{\sqrt{6mqEL}}{2Bq}$；
（3）粒子在B₁和B₂兩個磁場中的運(yùn)動時間之比是$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動軌跡，運(yùn)用幾何知識求解軌跡半徑．