Question

1．如圖，A、B兩物體通過(guò)一柔軟且不可伸長(zhǎng)的繩子連接，跨在光滑小滑輪兩側(cè)，軟繩與水平接觸面平行，已知A、B兩物體的質(zhì)量均為m，且可視為質(zhì)點(diǎn)，軟繩質(zhì)量也為m，長(zhǎng)為2L，平臺(tái)離地高L，不計(jì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的一切摩擦，剛開(kāi)始軟繩全部在水平面內(nèi)，現(xiàn)無(wú)初速釋放B，A、B在重力作用下開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，若B觸地后不再反彈．求：
（1）剛釋放B物體時(shí)，AB物體的加速度為多少？
（2）當(dāng)B即將落地的瞬間，AB兩物體的速度為多少？
（3）在A物體滑到定滑輪前過(guò)程中，試寫(xiě)出其加速度與其運(yùn)動(dòng)位移的函數(shù)關(guān)系式，并且作出相應(yīng)的a-x圖象．

Answer 1

分析 （1）對(duì)AB及繩沿繩子的方向進(jìn)行分析，開(kāi)始下落時(shí)，沿繩子的拉力為B的重力，沿繩子由牛頓第二定律列式求解即可；
（2）B即將落地時(shí)，B及繩子的重力勢(shì)能減小，由機(jī)械能守恒可求得AB兩物體的速度；
（3）整體運(yùn)動(dòng)后，平臺(tái)下方的繩子長(zhǎng)度增長(zhǎng)，則沿繩子方向上的拉力增大，分析x與臺(tái)下繩長(zhǎng)的關(guān)系，結(jié)合牛頓第二定律可求得加速度與位移之間的關(guān)系．

解答 解：
（1）剛釋放瞬間，對(duì)B，根據(jù)牛頓第二定律，有：mg-T=ma，
對(duì)A和軟繩整體，根據(jù)牛頓第二定律，有：T=2ma
聯(lián)立以上兩式，得：$a=\frac{g}{3}$
（2）B向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程，系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律有：$mgL+\frac{1}{2}mg×\frac{L}{2}=\frac{3}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{5}{6}gL}$
（3）對(duì)B未落地前，設(shè)A運(yùn)動(dòng)x距離，對(duì)整體據(jù)牛頓第二定律，有：$mg+\frac{mg}{2L}x=3ma$
解得：$a=\frac{g}{3}+\frac{gx}{6L}$（x＜L） 
當(dāng)x=L時(shí)，$a=\frac{g}{2}$，落地后瞬間，B的重力不再產(chǎn)生拉力，此時(shí)加速度發(fā)生突變，$\frac{mg}{2}=2ma$
則a=$\frac{g}{4}$，即加速度a在物體B落地前后瞬間由$\frac{1}{2}$g變?yōu)?\frac{1}{4}$g，
對(duì)B落地后，對(duì)整體據(jù)牛頓第二定律，有：$\frac{mg}{2}=（\frac{m}{2L}（2L-x）+m）a$
解得：a=$\frac{L}{5L-x}g$（x≥L）
答：（1）剛釋放B物體時(shí)，A、B物體的加速度為$\frac{g}{3}$；
（2）當(dāng)B即將落地瞬間，A、B兩物體的速度為$\sqrt{\frac{5}{6}gL}$；
（3）在A物體滑到定滑輪前過(guò)程中，試寫(xiě)出其加速度與運(yùn)動(dòng)位移的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)x≤L時(shí)；a=$a=\frac{g}{3}+\frac{gx}{6L}$；當(dāng)x＞L時(shí)，$\frac{L}{5L-x}g$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律及牛頓第二定律的應(yīng)用，注意本題適用牛頓第二定律中的連接體問(wèn)題，難點(diǎn)在于繩子的質(zhì)量不能忽略；故沿繩子方向上的拉力在變化．