Question

16．如圖所示，兩大小不同的彈性球相互接觸，并且球心在同一豎直線上．已知小球在上，質(zhì)量為m，大球在下，質(zhì)量為7m，兩球同時從高度為h處自由落下，此高度遠(yuǎn)大于兩球半徑．如果所有的碰撞都是彈性碰撞，且都發(fā)生在豎直方向上，重力加速度為g，求：
（1）大球從地面第一次反彈后小球上升的最大高度H；
（2）大球第一次碰地后，小球上升到最大高度前大球?qū)π∏虻臎_量的大�。ㄒ阎�大球?qū)π∏虻淖饔昧�遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小球受到的重力）．

Answer 1

分析 （1）下降過程為自由落體運動，觸地時兩球速度相同，但大球碰撞地之后，速度瞬間反向，大小相等，而小球也會與大球碰撞，選小球與大球碰撞過程為研究過程，碰撞前后動量守恒，能量守恒，列方程解得小球速度，之后小球做豎直上拋運動，由動能定理或運動學(xué)公式求解反彈高度．
（2）由動量定理即可求出大球?qū)π∏虻臎_量的大小．

解答 解：（1）下降過程為自由落體運動，由勻變速直線運動的速度位移公式得：
v²=2gh，
解得觸地時兩球速度相同，為：v=$\sqrt{2gh}$；
地球碰撞地之后，速度瞬間反向，大小相等，選小球與大球碰撞過程為研究過程，碰撞前后動量守恒，設(shè)碰后小球、大球速度大小分別為v₁、v₂，選向上方向為正方向，由動量守恒定律得：
7mv-mv=mv₁+7mv₂，
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$（m+7m）v²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$•7mv₂²，
聯(lián)立解得：v₁=2.5$\sqrt{2gh}$，v₂=0.5$\sqrt{2gh}$
反彈后高度為：H=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}$=6.25h；
（2）由于碰撞后小球的速度大于大球的速度，所以大球第一次碰地后，小球上升到最大高度前大球不會與小球發(fā)生第二次碰撞，可知大球第一次碰地后，小球上升到最大高度前大球?qū)π∏虻臎_量的大小就是在碰撞的過程中大球?qū)π∏虻臎_量．對小球由動量定理得：
I=△P=m△v=2.5m$\sqrt{2gh}$-（-m$\sqrt{2gh}$）=3.5m$\sqrt{2gh}$
答：（1）大球從地面第一次反彈后小球上升的最大高度是6.25h；
（2）大球第一次碰地后，小球上升到最大高度前大球?qū)π∏虻臎_量的大小是3.5m$\sqrt{2gh}$．

點評 本題首先要分析清楚兩球的運動過程，知道完全彈性碰撞過程中，動量守恒，機(jī)械能也守恒，選準(zhǔn)合適的作用過程，應(yīng)用動量守恒定律和能量守恒定律列方程解決，有一定難度．