Question

12．兩根長為L的絕緣輕桿組成直角支架，電量分別為+q、-q的兩個(gè)帶電小球A、B固定在支架上，整個(gè)裝置處在水平向左的勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度為E．在電場力之外的力作用下，整體在光滑水平面內(nèi)繞豎直軸O以角速度ω順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，下圖為其俯視圖．不計(jì)兩球之間因相互吸引而具有的電勢能．試求：
（1）在支架轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，外力矩大小的變化范圍．
（2）若從A球位于C點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，一段時(shí)間內(nèi)（小于一個(gè)周期），電場力之外的力做功W等于B球電勢能改變量，求W的最大值．
（3）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中什么位置兩球的總電勢能變化最快？并求出此變化率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)OA與電場線夾角θ，根據(jù)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電場力矩與外力矩平衡，求出電場力矩與θ的關(guān)系式，即得到外力矩與θ的關(guān)系式，從而確定其范圍．
（2）支架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)能的變化量為零，由動(dòng)能定理列式，求電場力做功，得到W的最大值．
（3）電場力做功等于電勢能改變量，則電勢能變化最快的位置應(yīng)是電場力功率最大的位置，列出電場力功率表達(dá)式，再求解．

解答 解：（1）設(shè)OA與電場線夾角θ．
支架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電場力矩與外力矩平衡，則得
外力矩 M=qELsinθ-qE（Lsinθ+Lcosθ）=-qELcosθ
所以外力矩大小的變化范圍為 0～qEL．
（2）支架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可得  W+W_電場力=0
根據(jù)題意  W=△E_pB
得W_電場力=-△E_pB
電場力做功僅改變了B球電勢能，所以A球電勢能變化為零，則A球在這段時(shí)間初末應(yīng)在同一個(gè)等勢面上，根據(jù)B球前后位置關(guān)系，得W=-2qEL
（3）因?yàn)殡妶隽ψ龉Φ扔陔妱菽芨淖兞�，所以電勢能變化最快的位置�?yīng)是電場力功率最大的位置．
設(shè)OA與電場線夾角θ，由公式P=Fv有
電場力功率 P=qEωLcos（$\frac{π}{2}$+θ）-qEω•$\sqrt{2}$L（$\frac{π}{4}$-θ）=qEωLcosθ
顯然在一周內(nèi)θ=0或π時(shí)有最值，即OA桿與電場線平行時(shí)，電勢能變化最快．
變化率為qEωL
另一種解法：
以O(shè)A與電場線平行，A在右端位置為t=0
以任意位置為零電勢，均能得到整體電勢能Ep=qELsin（ωt）
求導(dǎo)得電勢能變化率=qEωLcos（ωt）
顯然一周內(nèi)ωt=0或π時(shí)有最值，即OA桿與電場線平行時(shí)，電勢能變化最快．變化率qEωL．
答：（1）在支架轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，外力矩大小的變化范圍是0～qEL．
（2）W的最大值是-2qEL．
（3）OA桿與電場線平行時(shí)，電勢能變化最快．變化率為qEωL．

點(diǎn)評(píng) 本題分析時(shí)要知道支架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力矩平衡，合力做功為零，分析出物理過程蘊(yùn)含的物理規(guī)律是解題的關(guān)鍵．