Question

16．如圖在xoy平面內(nèi)有平行于x軸的兩個(gè)足夠大的熒光屏M、N，它們的位置分別滿足y=2l和y=0，兩屏之間為真空區(qū)域，在坐標(biāo)原點(diǎn)O有一個(gè)放射源不斷沿y軸正方向向真空區(qū)域內(nèi)發(fā)射帶電粒子，已知帶電粒子有兩種．為探索兩種粒子的具體情況，我們可以在真空區(qū)域內(nèi)控制一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)和一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E，方向與x軸平行，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于xoy平面．
實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：如果讓電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在，我們發(fā)現(xiàn)粒子束完全沒(méi)有偏轉(zhuǎn)，僅在M屏上有一個(gè)亮點(diǎn)，其位置在S（0，2l）；如果只讓磁場(chǎng)存在，我們發(fā)現(xiàn)僅在N屏上出現(xiàn)了兩個(gè)亮點(diǎn)，位置分別為P（-3l，0）、Q（l，0），由此我們可以將兩種粒子分別叫做P粒子和Q粒子．已知粒子間的相互作用和粒子重力可以忽略不計(jì)，試求（坐標(biāo)結(jié)果只能用l表示）：
（1）如果只讓磁場(chǎng)存在，但將磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度減為B₁=$\frac{1}{2}$B，請(qǐng)計(jì)算熒光屏上出現(xiàn)的所有亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)；
（2）如果只讓電場(chǎng)存在，請(qǐng)計(jì)算熒光屏上出現(xiàn)的所有亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)；
（3）如果只讓磁場(chǎng)存在，當(dāng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)锽₂=kB時(shí)，兩種粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，求k的數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)磁場(chǎng)B和電場(chǎng)E同時(shí)存在時(shí)，兩種粒子都受力平衡，據(jù)此求出粒子的速度，根據(jù)粒子圓周運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式求出將磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度減為B₁=$\frac{1}{2}$B時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)半徑與原來(lái)圓周運(yùn)動(dòng)半徑的關(guān)系，由幾何知識(shí)求出亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)；
（2）如果只讓電場(chǎng)存在，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解列方程求解；
（3）不論磁場(chǎng)為多少，P、Q兩粒子的軌道半徑R₁：R₂=3：1不變．因?yàn)閮闪Ｗ铀俣却笮∠嗟龋�所以要想兩粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，即運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)相等，兩粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心角之比必須為θ₁：θ₂=1：3，據(jù)此進(jìn)行分析．

解答 解：（1）當(dāng)磁場(chǎng)B和電場(chǎng)E同時(shí)存在時(shí)，兩種粒子都受力平衡，都滿足：
Eq=Bqv
所以兩種粒子速度相同都為：v=$\frac{E}{B}$…①
當(dāng)僅存在磁場(chǎng)時(shí)，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力充當(dāng)向心力，兩種粒子都滿足：
  Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：r=$\frac{mv}{qB}$…②
當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B時(shí)，P粒子的軌道半徑r₁=$\frac{3}{2}$l，Q粒子軌道半徑為：r₂=$\frac{1}{2}$l…③
由②可知當(dāng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度減為B₁=$\frac{1}{2}$B時(shí)，兩粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都加倍，此時(shí)有：r₁′=3l，r₂′=l
此時(shí)P粒子將打在M屏上，由幾何關(guān)系有：P粒子亮點(diǎn)位置橫坐標(biāo)為：x_P=$\sqrt{{r}_{2}^{′2}-（2l）^{2}}$-r₂′=-（3-$\sqrt{5}$）l
所以P粒子亮點(diǎn)位置為[-（3-$\sqrt{5}$）l，2l]
而Q粒子仍打在N屏上，易得亮點(diǎn)位置（2l，0）
（2）由上問(wèn)①②③式，可得兩粒子的荷質(zhì)比及其與E、B的關(guān)系，對(duì)P、Q分別有：
B²q₁•$\frac{3}{2}$l=m₁E…④
B²q₂$•\frac{1}{2}$l=m₂E…⑤
當(dāng)僅存在電場(chǎng)時(shí)，P粒子將向右偏，y方向分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)：
vt=2l…⑥
x方向分運(yùn)動(dòng)為受電場(chǎng)力作用的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有：
a₁=$\frac{{q}_{1}E}{{m}_{1}}$…⑦
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t²…⑧
結(jié)合④⑥⑦⑧可得：
x₁=$\frac{4}{3}$l…⑨
同理可以求得Q粒子在-x方向的偏轉(zhuǎn)位移為：
x₂=4l
故P、Q兩粒子打在屏上的位置坐標(biāo)分別為（$\frac{4}{3}$l，2l）、（-4l，2l）．  
（3）由②和③可以得出結(jié)論，不論磁場(chǎng)為多少，P、Q兩粒子的軌道半徑R₁：R₂=3：1不變．因?yàn)閮闪Ｗ铀俣却笮∠嗟龋�所以要想兩粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，即運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)相等，兩粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心角之比必須為θ₁：θ₂=1：3．
如右圖粒子打在M屏上時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧圓心角θ（銳角）與半徑R滿足l=Rsinθ，不可能滿足R₁：R₂=3：1和θ₁：θ₂=1：3．所以兩粒子都打在M屏上不可能滿足要求．     
兩粒子都打在N屏上，圓心角都為π也不能滿足要求．   
所以結(jié)果必然為P粒子打在M屏而Q粒子打在N屏，所以θ₂=π，而θ₁=$\frac{1}{3}$π．
由幾何關(guān)系易得此時(shí)R₁=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$l，結(jié)合②③可求得此時(shí)：
B₂=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$B，k=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$；
答：（1）如果只讓磁場(chǎng)存在，但將磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度減為B₁=$\frac{1}{2}$B，熒光屏上出現(xiàn)的所有亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)為[-（3-$\sqrt{5}$）l，2l]和（2l，0）；
（2）如果只讓電場(chǎng)存在，熒光屏上出現(xiàn)的所有亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)分別為（$\frac{4}{3}$l，2l）、（-4l，2l）；
（3）如果只讓磁場(chǎng)存在，當(dāng)將磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)锽₂=kB時(shí)，兩種粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，k的數(shù)值為$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)、以及復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)為類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)相應(yīng)規(guī)律分析求解即可，掌握了其運(yùn)動(dòng)形式后，便不難求解，萬(wàn)變不離其宗．