Question

3．如圖一個(gè)水平放置的圓盤邊緣系一根勁度系數(shù)k=5N/cm，原長(zhǎng)l=4cm的輕彈簧，彈簧的下端拴著一個(gè)質(zhì)量為m=400g的小球，圓盤的半徑r=4.5cm，圓盤繞中心豎直固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)小球隨著一起繞中心豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，穩(wěn)定后彈簧長(zhǎng)度保持不變且與豎直方向成θ=37°角：（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）穩(wěn)定后彈簧長(zhǎng)度l；
（2）穩(wěn)定后圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

Answer 1

分析 對(duì)小球受力分析，畫出受力分析圖，根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合胡克定律求出彈簧的長(zhǎng)度，小球隨著一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力和彈簧彈力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解角速度．

解答 解：（1）小球受到重力、彈簧的彈力，合力提供向心力，受力示意圖如圖所示：
根據(jù)幾何關(guān)系得：
cos37$°=\frac{mg}{{F}_{彈}}$
解得：${F}_{彈}=\frac{0.4×10}{0.8}=5N$，
則彈簧的伸長(zhǎng)量為$△x=\frac{{F}_{彈}}{k}=\frac{5N}{5N/cm}=1cm$，
所以穩(wěn)定后彈簧長(zhǎng)度l=1+4cm=5cm
（2）以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，由題可知，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R=Lsinθ+r，由重力和彈簧彈力的合力提供向心力，
由牛頓第二定律得
   mgtanθ=mω²R
又  R=lsinθ+r
解得：ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{lsinθ+r}}=\sqrt{\frac{10×0.75}{0.05×0.6+0.045}}$=10rad/s
答：（1）穩(wěn)定后彈簧長(zhǎng)度l為5cm；
（2）穩(wěn)定后圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為10rad/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓錐擺問題，容易出錯(cuò)的地方是圓周運(yùn)動(dòng)半徑的確定，不等于彈簧的長(zhǎng)度，也不等于Lsinθ，是軌跡圓的半徑，由幾何知識(shí)確定．