Question

6．豎直平面內(nèi)有一半徑為R的光滑圓環(huán)軌道，一質(zhì)量為m的小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運動，到達最高點C時的速率v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，則下述不正確的是（　�。�

• A． 小球到達C點時對軌道的壓力是$\frac{4mg}{5}$
• B． 此球的最大速率是$\sqrt{6}$v_c
• C． 小球在任一直徑兩端點上的動能之和相等
• D． 小球沿圓軌道繞行一周所用的時間等于$π\(zhòng)sqrt{\frac{5R}{g}}$

Answer 1

分析 因為圓環(huán)軌道是光滑的，只有重力做功，所以機械能守恒，可以求得在最低點時的最大速度；
對物體受力分析，根據(jù)圓周運動的向心力公式可以求得對軌道的作用力，由周期公式可以知道物體運動的周期．

解答 解：A、在C點有：mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得：N=$\frac{1}{5}$mg，小球到達C點時對軌道的壓力為：N′=N=$\frac{1}{5}$mg，故A錯誤．
B、速度最大的點應(yīng)該是最低點時，根據(jù)機械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mvc²=2mgR，解得最大速率為：v=$\sqrt{\frac{24gR}{5}}$=$\sqrt{6}$v_c，故B正確．
B、整個過程中機械能守恒，在任一直徑兩端點上的點，它們的高度之和都是2R，即它們的重力勢能的和相等，由于總的機械能守恒，所以它們的動能之和也相等，故C正確．
C、D、由周期T=$\frac{2πR}{v}$，當(dāng)圓環(huán)以速度最小v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$做勻速圓周運動時周期最小，v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$代入T=$\frac{2πR}{v}$，計算可得T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，由于小球離開最高點后速度在變大，所以T要減小，所以T＜T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，故D錯誤．
本題選錯誤的，故選：AD．

點評 小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運動，屬于桿的模型，在最高點時速度最小，向心力最小，最低點時速度最大，向心力最大，由機械能守恒可以求它們之間的關(guān)系．