Question

11．一水池水深H=3m，現(xiàn)從水面上方h=1.8m高處由靜止釋放一個硬質小球，測得小球從釋放到落至水池底部用時t=1.1s．已知小球直徑遠小于水池深度，不計空氣及水的阻力，進入水池過程中浮力變化不計，取g=10m/s²，求：
（1）小球在水中運動的時間和加速度；
（2）從水面上方多高處由靜止釋放小球，才能使小球從釋放到落至池底所用時間最短．

Answer 1

分析 （1）通過空中自由落體的時間，求出在水中運動的時間，根據(jù)落水的速度、在水中運動的時間、位移，求出在水中運動的加速度，即可分析小球在水中的運動情況．
（2）列出下落總時間與水面上方高度的關系式，通過數(shù)學方法求極小值．

解答 解：（1）水面上 $h=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$ ①
解得${t}_{1}^{\;}=0.6$s  
設水中做勻變速運動的加速度為a，時間為${t}_{2}^{\;}$，則${t}_{2}^{\;}=t-{t}_{1}^{\;}=0.5$s ②
$H=（g{t}_{1}^{\;}）{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$ ③
解得a=0，即水中做勻速直線運動 
（2）設釋放點距水面x，則
總時間${t}_{x}^{\;}=\sqrt{\frac{2x}{g}}+\frac{H}{\sqrt{2gx}}$④
當$\sqrt{\frac{2x}{g}}=\frac{H}{\sqrt{2gx}}$時，即$x=\frac{H}{2}$=1.5m  
答：（1）小球在水中運動的時間0.6s和加速度為0；
（2）從水面上方1.5m處由靜止釋放小球，才能使小球從釋放到落至池底所用時間最短

點評 解決本題要掌握自由落體運動的位移公式，速度公式求時間求速度．關鍵要能運用數(shù)學知識求解時間最短的條件．