Question

12．如圖所示，空間存在水平方向的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，將質(zhì)量為m，帶電量為q的一帶電小球從A點由靜止釋放，小球在重力和磁場力的作用下的運動可看作是向右勻速直線運動與逆時針方向的勻速圓周運動的合運動，重力加速度為g，小球在運動過程中不會和地面相碰，空氣的阻力不計．則（　�。�

• A． 小球運動到最低點時速度大小為$\frac{2mg}{qB}$
• B． 小球下降的最大高度為$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
• C． 小球從釋放到第一次回到與A等高處的過程中，磁場力對小球先做正功后做負(fù)功
• D． 小球從釋放到第一次回到與A等高處所用時間為$\frac{2πm}{qB}$

Answer 1

分析 該題中，小球從A點出發(fā)，先向下運動，然后在洛倫茲力的作用下，運動的軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn)，由題可知，若將小球的運動看做是在重力和磁場力的作用下，是向右勻速直線運動與逆時針方向的勻速圓周運動的合運動，則小球的運動具有周期性與對稱性，小球的受力也具有周期性與對稱性，小球在最高點與最低點受到的合力的方向相反，大小相等．分析小球受到的合外力提供向心力，即可求出小球在最低點的速度，然后由機械能守恒即可求出小球下落的高度，由小球在磁場中做圓周運動的特點，即可求出周期．

解答 解：A、由題意，可以將小球的運動可以看做是在重力和磁場力的作用下，是向右勻速直線運動與逆時針方向的勻速圓周運動的合運動，則小球的運動具有周期性與對稱性，小球在最高點與最低點受到的合力的方向相反，大小相等．
小球在最高點的速度為0，只受到的重力的作用，方向向下，可知小球在最低點時，小球受到的洛倫茲力與重力的合力方向向上，大小也等于重力，即：qvB-mg=mg，所以：$v=\frac{2mg}{qB}$．故A正確；
B、小球下降的過程中，只有重力做功，洛倫茲力不做功，可得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．故B正確；
C、由于洛倫茲力的方向始終與運動的方向垂直，所以小球從釋放到第一次回到與A等高處的過程中，磁場力對小球一直不做功．故C錯誤；
D、由于小球的運動可以看做是向右勻速直線運動與逆時針方向的勻速圓周運動的合運動，小球從釋放到第一次回到與A等高處所用時間就等于小球做完一個圓周運動所用的時間，為t=T=$\frac{2πm}{qB}$．故D正確．
故選：ABD

點評 該題考查帶電粒子在重力和洛倫茲力的作用下的運動，由于洛倫茲力的大小隨速度發(fā)生變化，洛倫茲力的方向也隨速度的方向發(fā)生變化，所以通常的方法是使用偏微分方程來解答．該題中，由于題目給出了“小球在重力和磁場力的作用下的運動可看作是向右勻速直線運動與逆時針方向的勻速圓周運動的合運動”的特殊的方法，因此，可以結(jié)合運動的周期性和對稱性，以及受力的周期性與對稱性進(jìn)行解答．