Question

4．如圖所示的圓柱形容器中盛滿折射率n=2的某種透明液體，容器直徑L=2H，在圓心正上方h高度處有一點(diǎn)光源S．
求：（1）S能照亮水面的面積有多大？
（2）若在容器底部安裝一塊平面鏡，則可使S發(fā)出光照亮整個(gè)液體表面，此時(shí)h應(yīng)該滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)臨界角的大小，通過(guò)幾何關(guān)系求出照亮水面部分圓形區(qū)域的半徑，從而得出面積的大�。�
（2）要使人從液體表面上任意位置處能夠觀察到點(diǎn)光源S發(fā)出的光，點(diǎn)光源發(fā)出的光必須全部能折射進(jìn)入空氣中，根據(jù)對(duì)稱性，作出點(diǎn)光源經(jīng)平面鏡所成的像．當(dāng)光射向水面時(shí)，入射角應(yīng)不大于臨界角，光線才能射入空氣中．由幾何知識(shí)求出h應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）根據(jù)sinC=$\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$，得：C=30°
根據(jù)幾何關(guān)系知，tan30°=$\frac{r}{H-h}$，解得r=$\frac{\sqrt{3}}{3}（H-h）$，
則S能照亮的水面面積S=πr²=$\frac{π（H-h）^{2}}{3}$．
（2）點(diǎn)光源S通過(guò)平面鏡所成像為S'，如圖所示，要使人從液體表面上任意位置處能夠觀察到點(diǎn)光源S發(fā)出的光，即相當(dāng)于像S'發(fā)出的光在水面不發(fā)生全反射，則：
入射角i≤C，C為全反射臨界角，C=30°
由幾何知識(shí)得，tani=$\frac{\frac{L}{2}}{H+h}$≤tanC，L=2H，
得到：h≥$（\sqrt{3}-1）$H，
所以：H＞h≥（$\sqrt{3}$-1）H．
答：（1）S能照亮水面的面積有
（2）h應(yīng)該滿足H＞h≥（$\sqrt{3}$-1）H．

點(diǎn)評(píng) 本題要利用對(duì)稱性作出平面鏡所成的像，點(diǎn)光源發(fā)出的光好像從虛像發(fā)出的．再根據(jù)臨界角和幾何知識(shí)求解h滿足的條件．