Question

2．經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認識．雙星系統(tǒng)由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離．一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理．
現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L．他們正繞兩者連線的中點作圓周運動．
（1）試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T_計算
（2）若實驗上觀測到的運動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算=1：$\sqrt{N}$（N＞1）．為了解釋T_觀測與T_計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質(zhì)．作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分著這種暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響．試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑求出雙星系統(tǒng)的運動周期．
（2）通過雙星系統(tǒng)中的某顆星受到另外一顆星和暗物質(zhì)的引力的合力提供向心力，結(jié)合觀測周期和計算周期的關(guān)系，求出暗物質(zhì)的質(zhì)量．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力得，$G\frac{MM}{{L}^{2}}=M（\frac{2π}{{T}_{計算}}）^{2}•\frac{L}{2}$，
解得${T}_{計算}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{2GM}}$．
（2）設(shè)暗星質(zhì)量為m$\frac{{G{M^2}}}{L^2}+\frac{GMm}{{{{（\frac{L}{2}）}^2}}}=M{（\frac{2π}{T_觀}）^2}•\frac{L}{2}$
又有${T_觀}：{T_{計算}}=1：\sqrt{N}$
聯(lián)立以上程式得$m=\frac{1}{4}（N-1）M$
答：（1）該雙星系統(tǒng)的運動周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{2GM}}$．
（2）該星系間這種暗物質(zhì)的質(zhì)量為$\frac{1}{4}（N-1）M$．

點評 本題關(guān)鍵找出向心力來源，然后根據(jù)牛頓第二定律列方程求解，要細心，不難．