Question

5．天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一顆太陽系外行星，其半徑約為地球的2倍，質(zhì)量約為地球的6倍，并環(huán)繞著一顆紅矮星運行，運行周期約為地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期的$\frac{1}{200}$，運行半徑約為日地距離的$\frac{1}{50}$．設(shè)該行星表面的重力加速度為g₁，地球表面重力加速度為g₂，該紅矮星的質(zhì)量為M₁，太陽質(zhì)量為M₂．假定該行星和地球均做勻速圓周運動，且不考慮自轉(zhuǎn)．則：
（1）g₁和g₂的比值約為多少？
（2）M₁和M₂的比值約為多少？

Answer 1

分析 （1）在星球表面重力與萬有引力相等求得重力加速度的表達式，由表達式根據(jù)星球半徑與地球半徑質(zhì)量與地球質(zhì)量的關(guān)系求得重力加速度的比值即可；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得中心球體的質(zhì)量與環(huán)繞天體的半徑和周期的關(guān)系求解中心天體的質(zhì)量關(guān)系．

解答 解：設(shè)行星的質(zhì)量和半徑分別為m₁、R₁，地球的質(zhì)量和半徑分別為m₂、R₂；行星繞紅矮星運動的軌道半徑和周期分別為r₁、T₁，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑和周期分別為r₂、T₂．
（1）在星球表面重力與萬有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，可得星球表面重力加速度$g=\frac{GM}{R}$
所以$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{G\frac{{m}_{1}}{{R}_{1}^{2}}}{G\frac{{m}_{2}}{{R}_{2}^{2}}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}•（\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}）^{2}$=$\frac{6}{1}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{2}$
（2）環(huán)繞天體圍繞中心天體圓周運動時萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得中心天體質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
所以有：$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}}{\frac{4{π}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}}=（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}•（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）^{2}$=$（\frac{\frac{1}{50}}{1}）^{3}×（\frac{1}{\frac{1}{200}}）^{2}$=$\frac{8}{25}$
答：（1）g₁和g₂的比值約為3：2；
（2）M₁和M₂的比值約為8：25．

點評 萬有引力的應(yīng)用主要成以下兩方面入手：一是不考慮星球自轉(zhuǎn)的情況下萬有引力與星球表面的重力大小相等；二是萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力．