5.天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一顆太陽系外行星,其半徑約為地球的2倍,質(zhì)量約為地球的6倍,并環(huán)繞著一顆紅矮星運行,運行周期約為地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期的$\frac{1}{200}$,運行半徑約為日地距離的$\frac{1}{50}$.設(shè)該行星表面的重力加速度為g1,地球表面重力加速度為g2,該紅矮星的質(zhì)量為M1,太陽質(zhì)量為M2.假定該行星和地球均做勻速圓周運動,且不考慮自轉(zhuǎn).則:
(1)g1和g2的比值約為多少?
(2)M1和M2的比值約為多少?

分析 (1)在星球表面重力與萬有引力相等求得重力加速度的表達式,由表達式根據(jù)星球半徑與地球半徑質(zhì)量與地球質(zhì)量的關(guān)系求得重力加速度的比值即可;
(2)根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得中心球體的質(zhì)量與環(huán)繞天體的半徑和周期的關(guān)系求解中心天體的質(zhì)量關(guān)系.

解答 解:設(shè)行星的質(zhì)量和半徑分別為m1、R1,地球的質(zhì)量和半徑分別為m2、R2;行星繞紅矮星運動的軌道半徑和周期分別為r1、T1,地球繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑和周期分別為r2、T2
(1)在星球表面重力與萬有引力相等有:$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$,可得星球表面重力加速度$g=\frac{GM}{R}$
所以$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{G\frac{{m}_{1}}{{R}_{1}^{2}}}{G\frac{{m}_{2}}{{R}_{2}^{2}}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}•(\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}})^{2}$=$\frac{6}{1}×(\frac{1}{2})^{2}$=$\frac{3}{2}$
(2)環(huán)繞天體圍繞中心天體圓周運動時萬有引力提供圓周運動向心力有:
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得中心天體質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
所以有:$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}}{\frac{4{π}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}}=(\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}})^{3}•(\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}})^{2}$=$(\frac{\frac{1}{50}}{1})^{3}×(\frac{1}{\frac{1}{200}})^{2}$=$\frac{8}{25}$
答:(1)g1和g2的比值約為3:2;
(2)M1和M2的比值約為8:25.

點評 萬有引力的應(yīng)用主要成以下兩方面入手:一是不考慮星球自轉(zhuǎn)的情況下萬有引力與星球表面的重力大小相等;二是萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力.

練習(xí)冊系列答案
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20.在水平地面上,有如圖所示的裝置,半徑分別為r和R(R>r)的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上,軌道之間有一條水平軌道CD相通.讓一小球以一定的初速先滑上甲軌道,通過粗糙的CD段,又滑上乙軌道,最后離開兩圓軌道.下列說法正確的是( 。
A.小球最后離開兩圓軌道時的速度小于滑上甲軌道時的初速度
B.小球經(jīng)過甲軌道最高點時比經(jīng)過乙軌道最高點時速度大
C.小球經(jīng)過甲、乙軌道最低點時對軌道的壓力相等
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10.如圖為接在50Hz低壓交流電源上的打點計時器,在紙帶做勻加速直線運動時打出的一條紙帶,圖中所示的是每打5個點所取的計數(shù)點,但第3個計數(shù)點沒有畫出.由圖數(shù)據(jù)可求得:

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(2)第3個計數(shù)點與第2個計數(shù)點的距離約為4.36cm,
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17.如圖所示,直角坐標系的x軸沿水平方向,y軸沿豎直方向,在y>0的區(qū)域中有豎直向下的勻強電場E1,在第四象限存在豎直向上的勻強電場E2和垂直于xoy平面、水平向外的勻強磁場B,一質(zhì)量為m,電荷量+q的帶電質(zhì)點,以v0的初速度從第二象限內(nèi)的A點(-2h,2h)水平拋出,經(jīng)過x軸上的P點(2h,0)進入第四象限,在第四象限內(nèi)恰好做勻速圓周運動,且運動半周后進入第三象限.已知重力加速度為g,求:
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第二種情景:在沿斜面向上的力F2的作用下a,b共同向上勻變速運動,此時彈簧的長度為L2
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