Question

如圖所示，在圓柱形倉(cāng)庫(kù)中心天花板上的O點(diǎn)，掛一根L＝3m的細(xì)繩，繩的下端掛一個(gè)質(zhì)量為m＝0.5kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為10N。小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球速度逐漸增大時(shí)，細(xì)繩與豎直方向的夾角也隨之變大。當(dāng)速度逐漸增大某一數(shù)值，細(xì)繩正好斷裂，設(shè)斷裂時(shí)小球在圖中的位置A，隨后小球以v＝9m/s的速度正好落在墻角的C點(diǎn)。設(shè)g＝10m/s²，求：

（1）繩剛要斷裂時(shí)與豎直方向夾角α及此時(shí)球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r；

（2）這個(gè)倉(cāng)庫(kù)屋頂?shù)母叨?i>H和半徑R。

Answer 1

解：（1）取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)繩剛要斷裂時(shí)細(xì)繩的拉力大小為F，則在豎直方向有:

Fcosα＝mg     （2分）

所以cosα＝＝＝0.5，故α＝60°（1分）

球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝Lsin60°＝3×m＝m  （2分）

（2）OO′間的距離為：OO′＝Lcos60°＝3×m＝1.5m

則O′O″間的距離為：O′O″＝H－OO′＝H－1.5m  

由牛頓第二定律知： 

∴v_A＝3m/s    （2分）

細(xì)繩斷裂后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)A點(diǎn)在地面上的投影為B，如圖所示。

由運(yùn)動(dòng)的合成可知：v_C²＝v_A²＋（gt）²  （1分）

由此可得小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t＝0.6s   （1分）

由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知小球在豎直方向上的位移為：

s_y＝gt²＝H－1.5m

所以屋的高度為：H＝gt²＋1.5m＝3.3m（1分）

小球在水平方向上的位移為：s_x＝BC＝v_At＝1.8m   （1分）

由圖可知圓柱形屋的半徑為：R＝＝4.8m。（1分）