Question

5．在真空中，半徑r=3×10^-2m的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，方向如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，一束相同的帶電粒子，以相同的初速度v=1.2×10⁶m/s同時從磁場邊界上直徑ab的一端a沿不同方向射向磁場，已知該粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，不計粒子重力及粒子間的相互作用，求：
（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑是多少？
（2）粒子在磁場中運動的最長時間為多少？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力作為向心力可以計算半徑的大小；
（2）做出軌跡圖，利用幾何關(guān)系判斷出當(dāng)弦長為多少時運動時間最長，從而可以計算出粒子在磁場中運行的最長時間．

解答 解：（1）由洛倫茲力提供向心力得：$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}=0.06m$
（2）如圖所示，以ab為弦長的圓弧對應(yīng)運動時間最長．
由圖可知：$sinθ=\frac{r}{R}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$
所以θ=30°
運動的時間為 $t=\frac{2θ}{360°}•T=\frac{πm}{3qB}$
代入數(shù)據(jù)得：t_m=5.2×10^-8s
答：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑是0.06m；
（2）粒子在磁場中運動的最長時間為5.2×10^-8s

點評 解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運動問題時，應(yīng)首先確定圓心的位置，找出半徑，做好草圖，利用數(shù)學(xué)幾何并結(jié)合運動規(guī)律進(jìn)行求解．
（1）圓心的確定：因洛倫茲力始終指向圓心，根據(jù)洛倫茲力的方向與速度的方向垂直，畫出粒子運動軌跡中的任意兩點（一般是射入和射出磁場的兩點）的洛倫茲力的方向，其延長線的交點即為圓心．
（2）半徑的確定和計算，半徑的計算一般是利用幾何知識，常用解三角形的方法．
（3）在磁場中運動時間的確定，由求出t，t=$\frac{θ}{2π}T$（θ為弧度）（θ為度數(shù)）；應(yīng)注意速度矢量轉(zhuǎn)過的角度θ，就是圓半徑轉(zhuǎn)過的角度，以及弦切角與圓心角的關(guān)系