Question

5．在真空中，半徑r=3×10^-2m的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，一束相同的帶電粒子，以相同的初速度v=1.2×10⁶m/s同時(shí)從磁場(chǎng)邊界上直徑ab的一端a沿不同方向射向磁場(chǎng)，已知該粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是多少？
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力作為向心力可以計(jì)算半徑的大��；
（2）做出軌跡圖，利用幾何關(guān)系判斷出當(dāng)弦長(zhǎng)為多少時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，從而可以計(jì)算出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的最長(zhǎng)時(shí)間．

解答 解：（1）由洛倫茲力提供向心力得：$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}=0.06m$
（2）如圖所示，以ab為弦長(zhǎng)的圓弧對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)．
由圖可知：$sinθ=\frac{r}{R}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$
所以θ=30°
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 $t=\frac{2θ}{360°}•T=\frac{πm}{3qB}$
代入數(shù)據(jù)得：t_m=5.2×10^-8s
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是0.06m；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為5.2×10^-8s

點(diǎn)評(píng) 解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先確定圓心的位置，找出半徑，做好草圖，利用數(shù)學(xué)幾何并結(jié)合運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行求解．
（1）圓心的確定：因洛倫茲力始終指向圓心，根據(jù)洛倫茲力的方向與速度的方向垂直，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中的任意兩點(diǎn)（一般是射入和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)）的洛倫茲力的方向，其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為圓心．
（2）半徑的確定和計(jì)算，半徑的計(jì)算一般是利用幾何知識(shí)，常用解三角形的方法．
（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定，由求出t，t=$\frac{θ}{2π}T$（θ為弧度）（θ為度數(shù)）；應(yīng)注意速度矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ，就是圓半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度，以及弦切角與圓心角的關(guān)系