Question

16．如圖所示，有一質量為m的小球P與穿過光滑水平板中央小孔O的輕繩相連，用力拉著繩子另一端，使小球P在水平板內繞O點做半徑為r，角速度為ω的勻速圓周運動．某時刻將繩子從這個狀態(tài)迅速放松，后又繃直，使小球P繞O點做半徑為R（R＞r）的勻速圓周運動，則
（1）從繩子放松到拉直這段過程經歷了多長時間？
（2）后一次小球做勻速圓周運動時繩上拉力為多大？

Answer 1

分析 （1）放松繩子后，小球做勻速直線運動，結合幾何關系求出勻速運動的位移，根據線速度與角速度的關系求出勻速運動的速度，從而得出從繩子放松到拉直這段過程經歷的時間．
（2）繩子放開后，球沿切線方向飛出，做勻速直線運動，到繩子突然張緊時，將速度沿切線方向和半徑方向正交分解，沿半徑方向的分速度突然減為零，以切線方向的分速度繞b軌道勻速圓周運動，由牛頓第二定律求出后一次小球做勻速圓周運動時繩上拉力．

解答 解：（1）繩子放開后，球沿切線方向飛出，做勻速直線運動，如圖；
由幾何關系，位移為：x=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$，
小球做勻速直線運動的速度v=rω，
可知從繩子放松到拉直這段過程經歷的時間t=$\frac{x}{v}=\frac{\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{rω}$．
（2）小球沿圓弧切線方向飛出后，到達b軌道時，繩子突然張緊，將速度沿切線方向和半徑方向正交分解，沿半徑方向的分速度突然減為零，以切線方向的分速度繞b軌道勻速圓周運動，如圖；
由幾何關系得到，由v_b=v_asinθ=$\frac{r}{R}•rω=\frac{{r}^{2}ω}{R}$，
根據牛頓第二定律得，$F=m\frac{{{v}_}^{2}}{R}$=$\frac{m{ω}^{2}{r}^{4}}{{R}^{3}}$．
答：（1）從繩子放松到拉直這段過程經歷的時間為$\frac{\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{rω}$．
（2）后一次小球做勻速圓周運動時繩上拉力為$\frac{m{ω}^{2}{r}^{4}}{{R}^{3}}$．

點評 解決本題的關鍵知道松手后，小球沿切線方向飛出，繃緊后，沿半徑方向的分速度突然減為零，以切線方向的分速度繞b軌道勻速圓周運動．