Question

11．如圖所示，真空中有以M（r，o）為圓心，半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，在第一象限y=r的直線上方足夠大的范圍內(nèi)，有方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第二象限內(nèi)有和圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在紙面內(nèi)從O點(diǎn)以速率v₀沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，恰好經(jīng)過圓與y=r直線的切點(diǎn)．已知質(zhì)子的電荷量為e，質(zhì)量為m，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E=$\frac{mv}{2er}$，不計(jì)質(zhì)子所受的重力．
（1）求圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（2）求質(zhì)子出發(fā)后第二次通過y軸的縱坐標(biāo)值；
（3）已知質(zhì)子自第2次經(jīng)過y軸到第3次經(jīng)過y軸所用時(shí)間為t₀，求質(zhì)子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)開始至第2n+l（n=0，l，2，3…）次通過y軸經(jīng)歷的時(shí)間；
（4）若質(zhì)子從0點(diǎn)以速率v₀沿與y軸負(fù)方向成60°角射入圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求質(zhì)子飛出圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)的位置坐標(biāo)和速度方向．

Answer 1

分析 （1）由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）明確粒子的運(yùn)動(dòng)過程，在電場(chǎng)中，用電場(chǎng)中的類平拋規(guī)律及牛頓第二定律進(jìn)行分析，求解第二次通過時(shí)的間距；
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)可明確第一次經(jīng)過y軸的時(shí)間，再根據(jù)周期性可得出時(shí)間的通式；
（4）由幾何關(guān)系可求得質(zhì)子飛出圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)的位置坐標(biāo)和速度方向．

解答 解：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r，則有：
ev₀B=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{er}$；
（2）質(zhì)子沿x軸正向射入磁場(chǎng)，經(jīng)$\frac{1}{4}$圓弧后以速度v垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)做拋物線運(yùn)動(dòng)，第一次經(jīng)過y軸時(shí)速度v與y軸的夾角為θ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得：
△y₁=v₀t
r=$\frac{1}{2}$at²，v_x=at
根據(jù)牛頓第二定律可得：
a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2r}$
聯(lián)立以上各式可得：
△y₁=2r，v_x=v₀
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1；
θ=45°
從第一次通過y軸到第二次通過y軸兩點(diǎn)間距為：
△y₂=$\sqrt{2}$$\frac{mv}{Be}$=$\frac{2m{v}_{0}}{Be}$=2r
所以質(zhì)子第二次通過y軸的縱坐標(biāo)為：y=r+△y₁+△y₂=5r；
（3）質(zhì)子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)到第一次通過y軸的時(shí)間為：t₁=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πr}{{v}_{0}}$+$\frac{2r}{{v}_{0}}$=$\frac{r（4+π）}{2{v}_{0}}$；
此后質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)具有周期性，第1次到第3次經(jīng)過y軸所用時(shí)間為：
t₂=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πr}{{v}_{0}}$+t₀=$\frac{πr}{2{v}_{0}}$+t₀；
質(zhì)子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)開始至第2n+1次通過y軸經(jīng)歷的時(shí)間為：t_n=t₁+nt₂
聯(lián)立得：t_n=n（$\frac{πr}{2{v}_{0}}$+t₀）+$\frac{4（4+π）}{2{v}_{0}}$（n=0，1，2，3--）
（4）質(zhì)子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過120°角后從P點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，如圖所示
x_p=r+r（1-cos60°）=1.5r，
y_p=rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r
故飛出磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)P為：（1.5r，$\frac{\sqrt{3}}{2}$r），
速度方向沿y軸正方向；
答：（1）圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{m{v}_{0}}{er}$；
（2）求質(zhì)子出發(fā)后第二次通過y軸的縱坐標(biāo)值5r；
（3）質(zhì)子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)開始至第2n+1（n=0，l，2，3…）次通過y軸經(jīng)歷的時(shí)間為n（$\frac{πr}{2{v}_{0}}$+t₀）+$\frac{4（4+π）}{2{v}_{0}}$（n=0，1，2，3--）
（4）若質(zhì)子從0點(diǎn)以速率v₀沿與y軸負(fù)方向成60°角射入圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)子飛出圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)的位置坐標(biāo)為（1.5r，$\frac{\sqrt{3}}{2}$r），速度方向沿y軸的正方向．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)及電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意正確分析物理過程，明確帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)和電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，靈活應(yīng)用幾何關(guān)系求解．