Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x軸上方存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，x軸下方存在垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一個(gè)靜止的帶正電粒子位于y軸正半軸的A（0，h）點(diǎn)，某時(shí)刻由于內(nèi)部作用，分裂成兩個(gè)電荷量都為q的粒子a和b，分別沿x軸正方向和負(fù)方向進(jìn)入電場(chǎng)．已知粒子a的質(zhì)量為m，粒子a進(jìn)入第一象限的動(dòng)量大小為p．設(shè)分裂過(guò)程不考慮外力的作用，在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用．求
（1）粒子a第一次通過(guò)x軸時(shí)離原點(diǎn)O的距離x；
（2）粒子a第二次通過(guò)x軸時(shí)與第一次通過(guò)x軸時(shí)兩點(diǎn)間的距離L；
（3）若b粒子質(zhì)量為a粒子質(zhì)量的k倍，請(qǐng)利用（1）（2）中的結(jié)論推出x_b與L_b的表達(dá)式．假設(shè)（1）（2）中的x=L，a粒子完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)時(shí)到達(dá)第一象限中的N點(diǎn)．現(xiàn)要使b粒子也能到達(dá)N點(diǎn)，試求k值應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，即帶電粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力充當(dāng)向心力
（3）做出a、b粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系可得出K值滿足的條件

解答 解：取a粒子為研究對(duì)象，粒子a在電電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)
h=$\frac{1}{2}$at^2…①
qE=ma…②
x=v_ot…③
p=mv₀…④
由①②③④解得：$x=p\sqrt{\frac{2h}{mqE}}$
（2）粒子a進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，設(shè)速度為v，與x軸正方向成θ 角，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，粒子a在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示
則：

v_y=at…⑤
v_y=vsinθ…⑥
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$…⑦
由幾何知識(shí)得：
L=2rsinθ…⑧
聯(lián)立②③⑤⑥⑦⑧式解得：
$L=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{8mEh}{q}}$                   
（3）兩粒子在分裂過(guò)程中遵守動(dòng)量守恒定律，粒子b進(jìn)入電場(chǎng)的初動(dòng)量大小也為p，方向沿x軸負(fù)方向． 
由于b的質(zhì)量為km，利用（1）（2）中的結(jié)論可得：
${x}_=p\sqrt{\frac{2h}{kmqE}}$…⑨
${L}_=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{8kmEh}{q}}$…⑩
如下圖所示，若a粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中x=L，則一個(gè)周期后達(dá)到N點(diǎn)離y軸距離就為3L．

要使粒子b也能到達(dá)N點(diǎn)，上圖為粒子b一個(gè)周期恰好達(dá)到N點(diǎn)時(shí)的軌跡圖．由于粒子b的運(yùn)動(dòng)是周期性運(yùn)動(dòng)，粒子b還可能經(jīng)過(guò)n個(gè)周期到達(dá)N點(diǎn)，每個(gè)周期粒子b都要向右平移一小段距離3L/n．則b粒子到達(dá)N點(diǎn)的條件方程為：
${L}_-2{x}_=\frac{3L}{n}$…⑪
聯(lián)立⑨⑩⑪得
$\sqrt{k}-\frac{2}{\sqrt{k}}=\frac{3}{n}$（其中n=1、2、3…，且k＞0）
答：
（1）粒子a第一次通過(guò)x軸時(shí)離原點(diǎn)O的距離$x=p\sqrt{\frac{2h}{mEq}}$    
（2）粒子a第二次通過(guò)x軸時(shí)與第一次通過(guò)x軸時(shí)兩點(diǎn)間的距離L$L=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{8mEh}{q}}$        
（3）k值應(yīng)滿足的條件$\sqrt{k}-\frac{2}{\sqrt{k}}=\frac{3}{n}$（其中n=1、2、3…，且k＞0）

點(diǎn)評(píng) 此題考察了帶電粒子在電場(chǎng)中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分解是處理帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類(lèi)平拋問(wèn)題的關(guān)鍵，“找圓心、定半徑”是處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)．