Question

7．如圖所示，空間存在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場方向?yàn)閥軸正方向，磁場方向垂直于xy平面（紙面）向外，電場和磁場都可以隨意加上或撤除，重新加上的電場或磁場與撤除前的一樣．一帶正電荷的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）點(diǎn)以一定的速度v₀平行于x軸正向入射．這時(shí)若只有磁場，粒子將做半徑為R₀的圓周運(yùn)動；若同時(shí)存在電場和磁場，粒子恰好做直線運(yùn)動．現(xiàn)在只加電場，當(dāng)粒子從O點(diǎn)運(yùn)動到x=R₀平面（圖中虛線所示）時(shí)，立即撤除電場同時(shí)加上磁場，粒子繼續(xù)運(yùn)動，其軌跡與x軸交于M點(diǎn)，不計(jì)重力，求：
（1）粒子到達(dá)x=R₀平面時(shí)的速度．
（2）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_M．

Answer 1

分析 （1）做直線運(yùn)動時(shí)電場力等于洛倫茲力，做圓周運(yùn)動洛倫茲力提供向心力，只有電場時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動，聯(lián)立方程組即可求解；
（2）撤電場加上磁場后做圓周運(yùn)動洛倫茲力提供向心力，求得R，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．

解答 解：（1）粒子做直線運(yùn)動時(shí)，有：qE=qBv₀
只有磁場時(shí)粒子做圓周運(yùn)動，有：qBv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$
只有電場時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動，則有：
  qE=ma   
  R₀=v₀t    
  v_y=at    
解得：v_y=v₀    
粒子的速度大小為：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀   
速度方向與x軸的夾角為：θ=$\frac{π}{4}$    
（2）當(dāng)粒子從運(yùn)動到x=R₀平面，
粒子與x軸的距離為：H=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{{R}_{0}}{2}$．
撤去電場加上磁場后，有：qBv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\sqrt{2}$R₀    
此時(shí)粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示．
圓心C位于與速度v方向垂直的直線上，該直線與x軸和y軸的夾角均為$\frac{π}{4}$．由幾何關(guān)系可得C點(diǎn)的坐標(biāo)為：
 x_C=2R₀   
 y_C=-$\frac{{R}_{0}}{2}$   
過C點(diǎn)作x軸的垂線，在△CDM中，有：
 l_CM=R=$\sqrt{2}$R₀
 l_CD=$\frac{{R}_{0}}{2}$
解得：l_DM=$\sqrt{{l}_{CM}^{2}-{l}_{CD}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$R₀
M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：x_M=2R₀+$\frac{\sqrt{7}}{2}$R₀．
答：
（1）粒子到達(dá)x=R₀平面時(shí)的速度大小為$\sqrt{2}$v₀，速度方向與x軸的夾角為$\frac{π}{4}$．
（2）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_M是2R₀+$\frac{\sqrt{7}}{2}$R₀．

點(diǎn)評 該題是帶電粒子在混合場中運(yùn)動的問題，要求同學(xué)們理解僅有電場時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動，只有磁場時(shí)做勻速圓周運(yùn)動，再根據(jù)圓周運(yùn)動和平拋運(yùn)動的基本公式及幾何關(guān)系解題，本題難度較大．