Question

7．如圖所示，空間存在勻強電場和勻強磁場，電場方向為y軸正方向，磁場方向垂直于xy平面（紙面）向外，電場和磁場都可以隨意加上或撤除，重新加上的電場或磁場與撤除前的一樣．一帶正電荷的粒子從坐標原點O（0，0）點以一定的速度v₀平行于x軸正向入射．這時若只有磁場，粒子將做半徑為R₀的圓周運動；若同時存在電場和磁場，粒子恰好做直線運動．現(xiàn)在只加電場，當粒子從O點運動到x=R₀平面（圖中虛線所示）時，立即撤除電場同時加上磁場，粒子繼續(xù)運動，其軌跡與x軸交于M點，不計重力，求：
（1）粒子到達x=R₀平面時的速度．
（2）M點的橫坐標x_M．

Answer 1

分析 （1）做直線運動時電場力等于洛倫茲力，做圓周運動洛倫茲力提供向心力，只有電場時，粒子做類平拋運動，聯(lián)立方程組即可求解；
（2）撤電場加上磁場后做圓周運動洛倫茲力提供向心力，求得R，再根據(jù)幾何關系即可求解．

解答 解：（1）粒子做直線運動時，有：qE=qBv₀
只有磁場時粒子做圓周運動，有：qBv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$
只有電場時，粒子做類平拋運動，則有：
  qE=ma   
  R₀=v₀t    
  v_y=at    
解得：v_y=v₀    
粒子的速度大小為：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀   
速度方向與x軸的夾角為：θ=$\frac{π}{4}$    
（2）當粒子從運動到x=R₀平面，
粒子與x軸的距離為：H=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{{R}_{0}}{2}$．
撤去電場加上磁場后，有：qBv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\sqrt{2}$R₀    
此時粒子的運動軌跡如圖所示．
圓心C位于與速度v方向垂直的直線上，該直線與x軸和y軸的夾角均為$\frac{π}{4}$．由幾何關系可得C點的坐標為：
 x_C=2R₀   
 y_C=-$\frac{{R}_{0}}{2}$   
過C點作x軸的垂線，在△CDM中，有：
 l_CM=R=$\sqrt{2}$R₀
 l_CD=$\frac{{R}_{0}}{2}$
解得：l_DM=$\sqrt{{l}_{CM}^{2}-{l}_{CD}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$R₀
M點的橫坐標為：x_M=2R₀+$\frac{\sqrt{7}}{2}$R₀．
答：
（1）粒子到達x=R₀平面時的速度大小為$\sqrt{2}$v₀，速度方向與x軸的夾角為$\frac{π}{4}$．
（2）M點的橫坐標x_M是2R₀+$\frac{\sqrt{7}}{2}$R₀．

點評 該題是帶電粒子在混合場中運動的問題，要求同學們理解僅有電場時，粒子做類平拋運動，只有磁場時做勻速圓周運動，再根據(jù)圓周運動和平拋運動的基本公式及幾何關系解題，本題難度較大．