Question

16．為紀(jì)念“光纖之父”、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者高錕的杰出貢獻(xiàn)，早在1996年中國科學(xué)院紫金山天文臺就將一顆于1981年12月3日發(fā)現(xiàn)的國際編號為“3463”的小行星命名為“高錕星”．已知“高錕星”半徑為R，其表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，在不考慮自轉(zhuǎn)的情況，求解以下問題：（以下結(jié)果均用字母表達(dá)即可）
假設(shè)“高錕星”為一均勻球體，試求
（1）“高錕星”的平均密度；（球體積v=$\frac{4}{3}$πR²）
（2）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運(yùn)行的第一宇宙速度；
（3）假設(shè)某衛(wèi)星繞“高錕星”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且運(yùn)行周期為T，求該衛(wèi)星距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力與萬有引力相等求得“高錕星”的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求得該星的密度；
（2）第一宇宙速度是近地飛行的衛(wèi)星的運(yùn)行速度，根據(jù)萬有引力提供回?fù)暨\(yùn)動(dòng)向心力和星球表面重力萬有引力相等求得星球的第一宇宙速度；
（3）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力由衛(wèi)星運(yùn)行的周期和星球的質(zhì)量求得衛(wèi)星距該星表面的高度．

解答 解：（1）根據(jù)星球表面重力與萬有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得高錕星的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
根據(jù)密度公式有，該星的平均速度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）第一宇宙速度時(shí)近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，滿足萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，而在星球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運(yùn)行的第一宇宙速度為：${v}_{1}=\sqrt{gR}$；
（3）設(shè)高錕星質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，軌道半徑r，
根據(jù)題意有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$  
由（2）得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
所以可得衛(wèi)星的軌道半徑為：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
所以衛(wèi)星距地面高度為：h=r-R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）假設(shè)“高錕星”為一均勻球體，“高錕星”的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運(yùn)行的第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$；
（3）假設(shè)某衛(wèi)星繞“高錕星”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且運(yùn)行周期為T，該衛(wèi)星距地面的高度$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評 解決天體問題的兩個(gè)主要入手點(diǎn)：一是星球表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供環(huán)繞天體的向心力．