Question

7．如圖所示，豎直部分足夠長(zhǎng)的薄壁U形管豎直放置，左管中有一不漏氣的輕質(zhì)活塞可沿管上下滑動(dòng)，最初左右兩管水面等高，活塞恰好接觸水面，已知管的橫截面為正方形，左管橫截面的邊長(zhǎng)l₁=0.10m，右管橫截面的邊長(zhǎng)l₂=2l₁，水的密度ρ=1.0×10³kg/m³．大氣壓p₀=1.0×10⁵Pa，重力加速度g=10m/s²．現(xiàn)用豎直向上的力F緩慢向上移動(dòng)活塞，使活塞向上移動(dòng)距離h=8.5m（右管中的水量足夠多，不計(jì)摩擦）
（1）試通過定量計(jì)算判斷活塞是否一直和水面接觸？
（2）求力F所做的功？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)大氣壓強(qiáng)求解液體兩側(cè)最大高度差，再根據(jù)液體體積這一不變量即可解決問題；
（2）結(jié)合能量守恒定律即可求解；

解答 解：（1）從開始提升到活塞升至兩管中水面高度差為${h}_{0}^{\;}=\frac{{p}_{0}^{\;}}{ρg}=10m$的過程中，活塞始終與管內(nèi)液體接觸，設(shè)此過程活塞上升高度為${h}_{1}^{\;}$，右管液面下降高度為${h}_{2}^{\;}$
${h}_{0}^{\;}={h}_{1}^{\;}+{h}_{2}^{\;}$
因液體體積不變，有：${h}_{1}^{\;}•{l}_{1}^{2}$=${h}_{2}^{\;}•{l}_{2}^{2}$
題中有：${l}_{2}^{\;}=2{l}_{1}^{\;}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)可解得：${h}_{1}^{\;}=8.0m$
題給h=10.0m$＞{h}_{1}^{\;}$，由此可知活塞向上移動(dòng)8.0m后，將不再與水面接觸．
（2）緩慢移動(dòng)活塞距離為${h}_{1}^{\;}$的過程中，對(duì)于水和活塞這個(gè)整體，機(jī)械能的增量等于重力勢(shì)能的增量，即
$△{E}_{p}^{\;}$=ρ$（{h}_{1}^{\;}{l}_{1}^{2}）$g$\frac{{h}_{0}^{\;}}{2}$
因液體不可壓縮，所以大氣壓力做的總功${p}_{0}^{\;}{l}_{2}^{2}{h}_{2}^{\;}-{p}_{0}^{\;}{l}_{1}^{2}{h}_{1}^{\;}=0$
故除重力外其它外力做的總功等于拉力F做的功${W}_{1}^{\;}$，由功能關(guān)系知
${W}_{1}^{\;}=△{E}_{p}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)可解得：${W}_{1}^{\;}=4.0×1{0}_{\;}^{3}J$
活塞移動(dòng)距離從${h}_{1}^{\;}$到h的過程中，液面不變，F(xiàn)是恒力，且F=${p}_{0}^{\;}{l}_{1}^{2}$
F做的功：${W}_{2}^{\;}=F（h-{h}_{1}^{\;}）={p}_{0}^{\;}{l}_{1}^{2}（h-{h}_{1}^{\;}）$=$0.5×1{0}_{\;}^{3}J$
所求拉力F做的總功為${W}_{1}^{\;}+{W}_{2}^{\;}$=$4.5×1{0}_{\;}^{3}J$
答：（1）活塞不一直和水面接觸；
（2）力F所做的功為$4.5×1{0}_{\;}^{3}$J

點(diǎn)評(píng) 本題有一定的難度，關(guān)鍵是要注意第二問中根據(jù)功能關(guān)系求解，要知道哪些能量參與轉(zhuǎn)化．