Question

13．如圖所示，一組平行金屬板水平放置，板間距為d，上極板始終接地．長度為L（L=$\fracakuekss{2}$）的不可伸長絕緣細(xì)線，上端系于上極板的中點O，下端系一帶正電的小球，所帶電荷量為q．當(dāng)兩板間電壓為U₁時，小球靜止在細(xì)線與豎直方向OO′夾角θ=30^°的位置，且細(xì)線伸直．若兩金屬板在豎直平面內(nèi)同時繞過O、O′垂直紙面的水平軸順時針旋轉(zhuǎn)α=15^°至圖中虛線位置，為使小球仍在原位置靜止，需改變兩板間電壓．假定兩板間始終為勻強電場，重力加速度為g，sin 15^°=0.2588，cos15°=0.9659，求：
（1）兩板旋轉(zhuǎn)前小球的質(zhì)量m和細(xì)線所受的拉力F；
（2）兩板旋轉(zhuǎn)后板間電壓U₂；
（3）求兩板旋轉(zhuǎn)前后小球電勢能的變化．

Answer 1

分析 （1）小球靜止時受力平衡，根據(jù)平衡條件，即可求解；
（2）兩板旋轉(zhuǎn)后，小球仍靜止，分析其受力情況，再由平衡條件，即可求解；
（3）根據(jù)電場強度變化，導(dǎo)致零電勢能面變化，則小球的電勢能也改變，再根據(jù)E_p=qφ，即可求解．

解答 解：（1）兩板旋轉(zhuǎn)前，小球所受的重力和電場力均在豎直方向，由平衡條件可知
qE=mg
F=0
又 E=$\frac{{U}_{1}}siiekkk$
解得：m=$\frac{q{U}_{1}}{gd}$
（2）兩板旋轉(zhuǎn)后，細(xì)線與金屬板間夾角為45°，小球受力情況如圖所示．由平衡條件，
垂直細(xì)線方向有：mgsin30°=qE′cos45°
又 E′=$\frac{{U}_{2}}{dcos15°}$
聯(lián)立以上三式解得：U₂=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}{U}_{1}$
（3）設(shè)兩板旋轉(zhuǎn)前后小球所在位置的電勢分別為φ和φ′．則金屬板旋轉(zhuǎn)前有：
φ=$\frac{{U}_{1}}cicmwk4$Lcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{U}_{1}$
電勢能為：E_p=qφ=$\frac{\sqrt{3}}{4}q{U}_{1}$
金屬板旋轉(zhuǎn)后有：φ′=$\frac{{U}_{2}}{dcos15°}$Lcos45°=$\frac{1}{4}{U}_{1}$
電勢能為：E_p′=qφ′=$\frac{1}{4}q{U}_{1}$
所以小球電勢能的變化量為：△E_p=E_p′-E_p=-$\frac{\sqrt{3}-1}{4}q{U}_{1}$
即小球的電勢能減少了$\frac{\sqrt{3}-1}{4}q{U}_{1}$．
答：（1）兩板旋轉(zhuǎn)前小球的質(zhì)量m是$\frac{q{U}_{1}}{gd}$，細(xì)線所受的拉力F為0；
（2）兩板旋轉(zhuǎn)后板間電壓U₂是$\frac{\sqrt{3}+1}{4}{U}_{1}$．
（3）兩板旋轉(zhuǎn)前后小球電勢能減少了$\frac{\sqrt{3}-1}{4}q{U}_{1}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵是正確分析小球的受力情況，要知道電勢能是相對的，要明確零電勢點．對力平衡，可采用正交分解法研究．