Question

18．如圖所示，傾角為37°的斜面上，輕彈簧一端固定在A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)另一端位于B點(diǎn)，斜面上方有半徑為R=1m、圓心角為143°的豎直圓弧形光滑軌道與斜面相切于D處，圓弧軌道的最高點(diǎn)為M．現(xiàn)用一質(zhì)量為m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿斜面將輕彈簧壓縮40cm到C點(diǎn)由靜止釋放，物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后在BD段運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移與時(shí)間關(guān)系為x=8t-4.5t²（x的單位是m，t的單位是s）．若物塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)后恰好能到達(dá)M點(diǎn)，取g=10m/s²，sin37°=0.6，求：
（1）物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）彈簧的最大彈性勢(shì)能；
（3）BD間的距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)物體從B到D的過(guò)程分析，由牛頓第定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）在M點(diǎn)由重力充當(dāng)向心力可求得M點(diǎn)的速度；由能量守恒求彈簧的最大彈性勢(shì)能；
（3）由動(dòng)能定理對(duì)DM過(guò)程分析可求得D的速度；再對(duì)BD過(guò)程由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得距離x．

解答 解：（1）由x=8t-4.5t²知，物塊在B點(diǎn)的速度v₀=8m/s，從B到D過(guò)程中加速度大小 a=9m/s² ①
由牛頓第二定律得 a=$\frac{F}{m}$=$\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}$=gsin37°+μgcos37°  ②
得 μ=$\frac{3}{8}$  ③
（2）物塊在M點(diǎn)的速度滿足 mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$ ④
根據(jù)能量守恒定律得：
彈簧的最大彈性勢(shì)能 E_p=mg[S_CDsin37°+R（1+cos37°）+μmgcos37°S_CD+$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$  ⑤
代入解得  E_p=35.6J
（3）物塊從D到M過(guò)程中，有$\frac{1}{2}$mv_D²=mgR（1+cos37°）+$\frac{1}{2}$mv_M² ⑥
物塊在由B到D過(guò)程中，有v_D²-v₀²=-2ax  ⑦
解得x=1m   ⑧
答：
（1）動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{3}{8}$；
（2）彈簧的最大彈性勢(shì)能為35.6J．   
（3）BD間的距離為1m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵在于明確能達(dá)到E點(diǎn)的含義，并能正確列出動(dòng)能定理及理解題目中公式的含義．