Question

8．如圖1所示，輕質(zhì)彈簧原長為2L，將彈簧豎直放置在水平地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長度為L．現(xiàn)將該彈簧水平放置（如圖2所示，彈簧圖略縮�。�，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5L的水平軌道，B端與半徑為L的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD在豎直方向上，如圖所示．物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長度為L處，然后釋放P，P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．

（1）求當(dāng)彈簧壓縮至長度為三時(shí)的彈性勢能E_p；
（2）若P的質(zhì)量為m，求物體離開圓軌道后落至AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離s；
（3）為使物塊P滑上圓軌道后又能沿圓軌道滑回，求物塊P的質(zhì)量取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先研究彈簧豎直的情況，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能；
（2）彈簧如圖放置時(shí)，由于彈簧的壓縮量等于豎直放置時(shí)的壓縮量，兩種情況彈簧的彈性勢能相等．由能量守恒定律求出物體P滑到B點(diǎn)時(shí)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出物體P到達(dá)D點(diǎn)的速度．物體P離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求水平距離；
（3）根據(jù)能量守恒定律列式和臨界條件求解．

解答 解：（1）由機(jī)械能守恒定律知，彈簧長度為L時(shí)的彈性勢能為E_P，
所以有：E_P=5mgL
（2）設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_B，由能量守恒定律得：E_P=$\frac{1}{2}$mv_B²+μmg（5L-L）
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=$\sqrt{6gL}$
設(shè)P滑到D點(diǎn)時(shí)的速度為v_D，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_D²+2mgL
解得：v_D=$\sqrt{2gL}$
物體從D點(diǎn)以速度v_D水平射出，設(shè)P落回到軌道AB所需時(shí)間為t
豎直方向上：2L=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：s=v_Dt
聯(lián)立解得：s=2$\sqrt{2L}$
（3）設(shè)P的質(zhì)量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度不能小于0，
則有：5mgL＞4μMgL
要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點(diǎn)C，
則有：$\frac{1}{2}$Mv_B²≤MgL
由能量關(guān)系有：E_P=$\frac{1}{2}$Mv_B²+4μMgL
解得：$\frac{5}{3}$m≤M≤$\frac{5}{2}$m
答：（1）當(dāng)彈簧壓縮至長度為L時(shí)的彈性勢能為5mgL；
（2）物體離開圓軌道后落至AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離為2$\sqrt{2L}$；
（3）物塊P的質(zhì)量取值范圍為$\frac{5}{3}$m≤M≤$\frac{5}{2}$m．

點(diǎn)評 解決本題時(shí)要抓住彈簧的形變量相等時(shí)彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，分段運(yùn)用能量守恒定律列式是關(guān)鍵．