Question

5．電子擴(kuò)束裝置由電子加速器、偏轉(zhuǎn)電場和偏轉(zhuǎn)磁場組成．偏轉(zhuǎn)電場由加了電壓的相距為d的兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板形成，如圖甲所示．大量電子（其重力不計(jì)）由靜止開始，經(jīng)加速電場加速后，連續(xù)不斷地沿平行板的方向從兩板正中間射入偏轉(zhuǎn)電場．當(dāng)兩板不帶電時(shí)，這些電子通過兩板之間的時(shí)間為2t₀，當(dāng)在兩板間加如圖乙所示的周期為2t₀、幅值恒為U₀的電壓時(shí)，所有電子均從兩板間通過，然后進(jìn)入水平寬度為l，豎直寬度足夠大的勻強(qiáng)磁場中，最后通過勻強(qiáng)磁場打在豎直放置的熒光屏上，已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e．求：

（1）t₀時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場的電子穿出兩板之時(shí)的側(cè)向位移；
（2）電子在剛穿出兩板之間時(shí)的最大側(cè)向位移與最小側(cè)向位移之比；
（3）要使側(cè)向位移最大的電子能垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（4）在滿足第（3）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度．

Answer 1

分析 （1）電子從t₀時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，在這種情況下，電子在側(cè)向做勻加速直線運(yùn)動，結(jié)合牛頓第二定律即可求出位移；
（2）根據(jù)粒子在磁場中的半徑的公式可知，粒子的速度越大，半徑越大，所以要使電子的側(cè)向位移最大，應(yīng)讓電子從0、2t₀、4t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，要使電子的側(cè)向位移最小，應(yīng)讓電子從t₀、3t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場；
（3）電子垂直打在熒光屏上，根據(jù)粒子的運(yùn)動的軌跡的幾何關(guān)系，可以求得勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（4）于各個(gè)時(shí)刻從偏轉(zhuǎn)電場中出來的電子的速度大小相同，方向也相同，因此電子進(jìn)入磁場后的半徑也相同．根據(jù)電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時(shí)的最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移可以求得打在熒光屏上的電子束的寬度．

解答 解：（1）電子從t₀時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，在這種情況下，電子的側(cè)向位移為y=$\frac{1}{2}$a${t}_{0}^{2}$      
所以 y=$\frac{1}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$   
（2）由題意可知，從0、2t₀、4t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場的電子側(cè)向位移最大，在這種情況下，電子的側(cè)向位移為
y_max=$\frac{1}{2}$a${t}_{0}^{2}$+v_yt₀
y_max=$\frac{1}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$+$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$=$\frac{3}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$
從t₀、3t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場的電子側(cè)向位移最小，在這種情況下，電子的側(cè)向位移為
 y_min=$\frac{1}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$ 
所以最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移之比為y_max：y_min=3：1
（3）設(shè)電子從偏轉(zhuǎn)電場中射出時(shí)的偏向角為q，由于電子要垂直打在熒光屏上，所以電子在磁場中運(yùn)動半徑應(yīng)為：$R=\frac{l}{sinθ}$
電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時(shí)的速度為v_t，垂直偏轉(zhuǎn)極板的速度為v_y，則電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時(shí)的偏向轉(zhuǎn)角為：sinθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{t}}$
v_y=$\frac{{eU}_{0}}{dm}$t₀
$qvB=m\frac{v^2}{R}$
上述四式可得：B=$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{dl}$
（4）由于各個(gè)時(shí)刻從偏轉(zhuǎn)電場中出來的電子的速度大小相同，方向也相同，因此電子進(jìn)入磁場后的半徑也相同，都能垂直打在熒光屏上
由第（1）問可知電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時(shí)的最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移的差值為：△y=y_max-y_min  
所以△y=$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$
所以打在熒光屏上的電子束的寬度為△y=$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$．
答：（1）t₀時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場的電子穿出兩板之時(shí)的側(cè)向位移$\frac{1}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$；
（2）電子在剛穿出兩板之間時(shí)的最大側(cè)向位移與最小側(cè)向位移之比是3：1；
（3）要使側(cè)向位移最大的電子能垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度是$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{dl}$；
（4）在滿足第（3）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度是$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評 電荷在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑．定圓心角，求時(shí)間．