Question

3．1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場與盒面垂直．A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q，初速度為0，在加速器中被加速，加速電壓為U．加速過程中不考慮相對論效應(yīng)和重力作用．
（1）求粒子第1次和第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t和粒子獲得的最大動能E_km．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)動能定理和洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑與加速電壓的關(guān)系，從而求出軌道半徑之比．
（2）求解出最大速度，得到最大動能；再求解出每次加速獲得的動能為qU；得到加速的次數(shù)；最后運(yùn)動的總時間；根據(jù)洛侖茲提供向心力，求出最大動能與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系以及與加速電壓頻率的關(guān)系，然后分情況討論出最大動能的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁，則：
Uq=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
進(jìn)入磁場，粒子在運(yùn)動過程中有：Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：r₁=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
同理，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑：r₂=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{4mU}{q}}$
解得：$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$
（2）設(shè)粒子共加速了n圈，則2nqU=$\frac{1}{2}$mv²；
洛倫茲力提供向心力，則Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子運(yùn)動的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$
時間與周期的關(guān)系：t=nT
解得：t=$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$
加速電場的頻率應(yīng)該等于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的頻率，即：f=$\frac{Bq}{2πm}$
當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B_n時，加速電場的頻率應(yīng)該為：f_Bm=$\frac{{B}_{n}q}{2πm}$
粒子的動能：E_k=$\frac{1}{2}$mv²；
當(dāng)f_Bm≤f_m時，粒子的最大動能由B_m決定，則：Bqvm=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：E_km=$\frac{{q}^{2}{B}_{m}^{2}{r}^{2}}{2m}$
當(dāng)f_Bm≥f_m時，粒子的最大動能由f_m決定，則：v_m=2πf_mR 
解得：E_km=2π²mf_m²R²；
答：（1）粒子第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后的軌道半徑之比為$\sqrt{2}$：1；
（2）粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t為$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$；當(dāng)f_Bm≤f_m時，粒子的最大動能為$\frac{{q}^{2}{B}_{m}^{2}{r}^{2}}{2m}$；當(dāng)f_Bm≥f_m時，粒子的最大動能2π²mf_m²R²．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵明確回旋加速器的工作原理，特別是要知道加速時間很短，與回旋時間相比完全可以忽略不計(jì)．