Question

如圖所示，間距為L(zhǎng)=1m的兩平行金屬導(dǎo)軌與水平面成θ=37°角的固定放置，虛線M N上方存在垂直軌道平面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，M N下方存在平行軌道平面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度均為1T，M N上下兩部分軌道均足夠長(zhǎng)，其電阻均不計(jì)．光滑金屬棒ab的質(zhì)量為m=1Kg，電阻r=1Ω；金屬棒cd質(zhì)量為m=1Kg，電阻r=2Ω，它與軌道間的摩擦因數(shù)μ=0.6．現(xiàn)由靜止釋放cd棒，同時(shí)對(duì)ab棒施加一平行導(dǎo)軌向上的外力F，使ab棒沿軌道向上做初速度為零，加速度a=3m/s²的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與軌道垂直且與軌道接觸良好．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²）
（1）寫出所加外力F與時(shí)間t的關(guān)系式
（2）求cd棒達(dá)到最大速度所用時(shí)間t₀
（3）若從釋放cd到cd達(dá)到最大速度時(shí)外力F所做的功為WF=62J，求此過(guò)程中回路中所產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）ab棒沿軌道向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由v=at、E=BLv、I=

E

R+r

、F_安=BIL推導(dǎo)出安培力與時(shí)間的關(guān)系式，對(duì)ab棒，即可由牛頓第二定律得到外力F與時(shí)間t的關(guān)系式
；
（2）cd棒向下先加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件求解時(shí)間t₀；
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出cd棒達(dá)到最大速度時(shí)通過(guò)的位移和所用時(shí)間，再由動(dòng)能定理求解ab棒克服安培力做功，即等于此過(guò)程中回路中所產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t后ab棒的速度為v，則v=at①
此時(shí)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv，②
感應(yīng)電流為 I=

E

R+r

  ③
設(shè)安培力大小為F_安，則F_安=BIL，④
對(duì)ab棒，由牛頓第二定律得：F-mgsinθ-F_安=ma  ⑤
聯(lián)立以上幾式得，F(xiàn)=（t+9）N  ⑥
設(shè)cd棒達(dá)到最大速度時(shí)所用時(shí)間為t0，此時(shí)ab棒的速度為v0，安培力大小為F_安′，則由①～④得
   F_安′=

B2L2at0

R+r

  ⑦
對(duì)cd棒，由平衡條件得  mgsinθ=μ（mgcosθ+F_安′）  ⑧
由⑦⑧得，t₀=2s
（2）設(shè)當(dāng)cd棒達(dá)到最大速度時(shí)，ab棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)的距離為x，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
   x=

1

2

a

t

2 0

  ⑩
   v₀=at₀      （11）
對(duì)ab棒，由動(dòng)能定理得
   W_F-mgxsinθ-W_安=

1

2

m

v

2 0

  （12）
則得克服安培力做的功為 W_安=Q  （13）
由⑨～（13）解得，Q=8J
答：
（1）所加外力F與時(shí)間t的關(guān)系式是F=（t+9）N．
（2）cd棒達(dá)到最大速度所用時(shí)間t₀是2s．
（3）若從釋放cd到cd達(dá)到最大速度時(shí)外力F所做的功為WF=62J，此過(guò)程中回路中所產(chǎn)生的焦耳熱Q是8J．

點(diǎn)評(píng)：本題中電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，安培力是橋梁，推導(dǎo)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)安培力表達(dá)式是關(guān)鍵．