Question

8．如圖所示，豎直平面內(nèi)固定有一個半徑為R的四分之一圓弧軌道PQ，其中半徑OP水平、OQ豎直，現(xiàn)從圓心O處以不同的初速度水平拋出一系列質(zhì)量為m的相同小球，這些小球都落到了圓軌道上，不計空氣阻力，重力加速度為g．
（1）若小球從拋出到擊中軌道所用時間為$\sqrt{\frac{R}{g}}$，求小球平拋的初速度v₀．
（2）某同學(xué)認(rèn)為初速度越小，則小球撞擊軌道的動能越小；另一同學(xué)認(rèn)為初速度越大，小球落到圓弧軌道時下降的高度越小，則小球撞擊軌道的動能越小，請通過推理說明你的觀點．

Answer 1

分析 小球做平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律得到初速度；
根據(jù)動能定理得到小球落到圓弧上時的動能與下落高度的關(guān)系，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識分析即可．

解答 解：（1）如圖乙所示，對小球，有：
豎直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{1}{2}$R　
水平方向x=$\sqrt{{R}^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R　
平拋的初速度v₀=$\frac{x}{t}$=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$．
（2）設(shè)小球以初速度v拋出并撞到軌道上，根據(jù)動能定理得：
mgy'=E_k-$\frac{1}{2}$mv²　
且x'=vt'
y'=$\frac{1}{2}$gt'²　
x'²+y'²=R²　
解得E_k=mg（$\frac{3}{4}$y'+$\frac{{R}^{2}}{4y'}$）　
當(dāng)$\frac{3}{4}$y'=$\frac{{R}^{2}}{4y'}$，即y'=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R時，小球撞擊軌道的動能有最小值，E_k有最小值，在初速度不斷增大的過程中，小球的動能先減小后增大．
綜上所述，兩位學(xué)生的觀點都不正確．
答：（1）小球平拋的初速度v₀為$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$；
（2）兩位學(xué)生的觀點都不正確

點評 本題第二小問中采用數(shù)學(xué)上的函數(shù)法，得到動能與y的解析式，由數(shù)學(xué)不等式法分析動能的變化情況．