Question

9．經過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)由兩個星體組成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當做孤立系統(tǒng)來處理．現(xiàn)根據對某一雙星系統(tǒng)的光度學測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．試求：
（1）該雙星系統(tǒng)的運動周期；
（2）若該實驗中觀測到的運動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算=1：$\sqrt{N}$（N＞1）．
為了理解T_觀測與T_計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布這種暗物質．若不考慮其他暗物質的影響，根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．

Answer 1

分析 （1）根據對稱性可知，兩顆星都繞系統(tǒng)中心做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物質引力和星星引力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解出暗物質的質量，再求解密度．

解答 解：（1）雙星均繞它們連線的中點做勻速圓周運動，其運動的周期為T_計算，由萬有引力提供向心力，則有：
G$\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}$=M•（$\frac{2π}{{T}_{計算}}$）²•$\frac{L}{2}$；
解得：T_計算=πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$；
（2）根據觀測結果，星體的運動周期為：T_觀測=$\frac{1}{\sqrt{N}}$T_計算（N＞1）．
這種周期差異是由于雙星間均勻分布的暗物質引起的．均勻分布雙星系統(tǒng)內的暗物質對雙星系統(tǒng)的作用，與一個質點（質點的質量等于球內暗物質的總質量M′且位于中點O處）的作用相同，考慮暗物體作用后雙星系統(tǒng)的運動周期即為觀測到的周期T_觀測，則有：
G$\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}$+G$\frac{MM′}{（\frac{L}{2}）^{2}}$=M•（$\frac{2π}{{T}_{觀測}}$）²•$\frac{L}{2}$；
代入T_計算=πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$，并整理得：M′=$\frac{N-1}{4}$M；
設所求暗物質的密度為ρ，則有：
ρ=$\frac{M′}{\frac{4}{3}π（\frac{L}{2}）^{3}}$=$\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$；
答：（1）該雙星系統(tǒng)的運動周期T_計算為πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$；
（2）該星系間這種暗物質的密度為$\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．

點評 本題關鍵找出向心力來源，知道雙星的向心力來自相互的萬有引力，然后根據牛頓第二定律和向心力公式列方程研究．