Question

5．如圖所示，水平地面上方MN邊界右側(cè)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直方向的均強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，在邊界MN離地面高h(yuǎn)=3m處的A點(diǎn)，質(zhì)量m=0.1kg，電荷量q=0.1C的帶正電的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以速度v₀水平進(jìn)入右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)的區(qū)域，小球進(jìn)入右側(cè)區(qū)域恰能做勻強(qiáng)圓周運(yùn)動(dòng)，g取10m/s²．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）若0＜v₀≤2m/s，求小球在電磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間t₁；
（3）若0＜v₀≤2m/s，求小球落在水平地面上的范圍．

Answer 1

分析 （1）帶電小球受三個(gè)力作用下恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則兩個(gè)恒力電場(chǎng)力和重力平衡抵消．從而求出電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向．
（2）顯然速度越大，半徑越大，偏轉(zhuǎn)角度越小，時(shí)間越短．即以v₀=2m/s的速度進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．由幾何關(guān)系求出偏轉(zhuǎn)角度從而求出最短時(shí)間．
（3）落在最右邊的點(diǎn)顯然是第（2）問(wèn)中時(shí)間最短的C點(diǎn)，至于落在左邊的D點(diǎn)，則是以某一速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)半周后離開電、磁場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)．寫出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移表達(dá)式，由表達(dá)式就能求出當(dāng)速度取何值時(shí)，水平位移有最大值．

解答 解：（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力等于重力，qE=mg，解得E=10N/C，方向豎直向上．
（2）小球以2m/s的速度在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，由$qB{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，從而求出半徑
  $r=\frac{mv}{qB}=2m$，畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖大圓弧所示，由幾何關(guān)系求出∠AOC=120°，所以時(shí)間t₁=$\frac{1}{3}T=\frac{2π}{3}s$
（3）小于以2m/s的速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)打在C點(diǎn)，該點(diǎn)離N點(diǎn)最遠(yuǎn)，由幾何關(guān)系得NC=rsin60°=$\sqrt{3}m$
  設(shè)小球以半徑R轉(zhuǎn)半周后離開磁場(chǎng)再做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：$h-2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
   x=v_ot，而R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
  聯(lián)立以上幾式可得當(dāng)R=1m時(shí)，x有最大值，解得最大值為$\frac{\sqrt{5}}{5}m$
  所以小球落在N點(diǎn)右側(cè)$\sqrt{3}$m和N點(diǎn)左側(cè)$\frac{\sqrt{5}}{5}m$的范圍內(nèi)．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為10N/C，方向?yàn)樨Q直向上．
（2）若0＜v₀≤2m/s，小球在電磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間t₁為$\frac{2π}{3}s$．
（3）若0＜v₀≤2m/s，小球落在水平地面上是N點(diǎn)右側(cè)$\sqrt{3}$m和N點(diǎn)左側(cè)$\frac{\sqrt{5}}{5}m$的范圍內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于小球進(jìn)入磁場(chǎng)的速度有一個(gè)范圍，當(dāng)取不同的速度時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，最短時(shí)間對(duì)應(yīng)于速度最大的情況，至于落在地面上的范圍，