Question

19．2012年6月19日，“神州九號(hào)”載人飛船與“天宮一號(hào)”目標(biāo)飛行器成功實(shí)施了交會(huì)對(duì)接形成組合體．組合體的運(yùn)行軌道可視為圓軌道，距地球表面高度為h．已知地球的半徑為R、質(zhì)量為M，萬有引力常量為G．試求：
（1）神州九號(hào)與天宮一號(hào)組合體的線速度大�。�
（2）神州九號(hào)與天宮一號(hào)組合體的運(yùn)行周期大��；
（3）神州九號(hào)與天宮一號(hào)組合體的向心加速度大�。�

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}=ma$，化簡可以解得線速度、周期、加速度．

解答 解：（1）設(shè)衛(wèi)星的線速度為v，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得衛(wèi)星的線速度為v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得運(yùn)行周期T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$
（3）由于$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=ma$，解得向心加速度a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$
答：（1）神州九號(hào)與天宮一號(hào)組合體的線速度大小為$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$；
（2）神州九號(hào)與天宮一號(hào)組合體的運(yùn)行周期大小為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$；
（3）神州九號(hào)與天宮一號(hào)組合體的向心加速度大小為$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 天體的運(yùn)動(dòng)主要依靠萬有引力定律充當(dāng)向心力，故分析天體的運(yùn)動(dòng)時(shí)一定要先從這一點(diǎn)進(jìn)行分析，再結(jié)合所學(xué)過的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)解決問題．