Question

18．如圖所示，邊長為R的正方體空間圖形ABCD-A₁B₁C₁D₁，其下表面在水平地面上，將質(zhì)量為m的小球從頂點A在∠BAD所在范圍內(nèi)（包括邊界）分別沿不同的水平方向拋出，落點都在A₁B₁C₁D₁平面范圍內(nèi)（包括邊界）．不計空氣阻力，重力加速度為g．
（1）若小球落在B₁D₁線段上，求小球落地時最大的動能；
（2）若小球軌跡與AC₁線段相交，在交點處的速度方向與水平面的夾角為α，求tanα．

Answer 1

分析 小球做平拋運動，水平分運動為勻速直線運動，豎直分運動為自由落體運動．運動時間由下落的高度決定．由分位移公式求初速度．由機械能守恒定律研究落地時機械能．注意明確幾何關(guān)系的正確應(yīng)用即可求解．

解答 解：（1）小球落在B₁點時速度最大，落地動能最大，根據(jù)機械能守恒定律有：
E_k=mgR+$\frac{1}{2}$mv₀²
小球做平拋運動
豎直方向上：R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：R=v₀t
解得：E_K=1.25mgR
（2）軌跡與AC₁線段相交的小球，根據(jù)幾何關(guān)系有：
lcosθ=v₀t
lsinθ=$\frac{1}{2}$gt²
而由幾何關(guān)系可知：cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
在交點處小球的豎直分速度：
v_y=v₀t
故tanθ=$\frac{{v}_{Y}}{{v}_{0}}$
解得：tanθ=$\sqrt{2}$
答：（1）若小球落在B₁D₁線段上，小球落地時最大的動能1.25mgR；
（2）若小球軌跡與AC₁線段相交，在交點處的速度方向與水平面的夾角為α，tanα等于$\sqrt{2}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵要掌握機械能守恒定律的應(yīng)用以及平拋運動的研究方法，掌握分位移公式，明確水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體規(guī)律的分別研究．